Considere o plano pi: 2 x+y-z=0. Seja Rpi: R^3 mapsto R^3 a reflexão em torno do plano pi.
(a) Determine a matriz A da transformação Rpi (relativa às bases canônicas).
(b) Rpi é um isomorfismo? Se for, calcule sua inversa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que trabalhar com um plano no espaço, definido por . A gente precisa descobrir a matriz que representa a reflexão em torno desse plano, chamada de , usando as bases canônicas. Além disso, vamos verificar se essa transformação é um isomorfismo e, se for, encontrar sua inversa. Para isso, a gente vai usar conceitos de álgebra linear como vetores normais, produto escalar e matrizes de transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano n = 2 1 -1 . O vetor normal é dado pelos coeficientes das variáveis na equação do plano. Então, temos:
Esse vetor é perpendicular ao plano .

Passo 3

Agora, vamos normalizar o vetor |n| = raiz2^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6 para obter um vetor unitário n = 1raiz6 2 1 -1 . Isso é importante porque a fórmula da reflexão utiliza um vetor unitário. A magnitude de é:
Então, o vetor unitário é:

Passo 4

A fórmula para a reflexão de um vetor Rpi(v) = v - 2 (v cdot n) n em relação ao plano é:
Aqui, é o produto escalar entre e . Essa expressão nos dá a reflexão de em relação ao plano.

Passo 5

Para encontrar a matriz A = I - 2 n n^T que representa , precisamos expressar a transformação linear em termos de matrizes. A expressão geral para a matriz de reflexão é:
Onde é a matriz identidade de ordem 3 e é o produto externo do vetor unitário com ele mesmo.

Passo 6

Vamos calcular n n^T = 16 2 1 -1 2 & 1 & -1 = 16 4 & 2 & -2 2 & 1 & -1 -2 & -1 & 1 :
2 n n^T = 26 4 & 2 & -2 2 & 1 & -1 -2 & -1 & 1 = 13 4 & 2 & -2 2 & 1 & -1 -2 & -1 & 1
Então:

Passo 7

Subtraindo isso da matriz identidade A = I - 13 4 & 2 & -2 2 & 1 & -1 -2 & -1 & 1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 - 43 & 23 & -23 23 & 13 & -13 -23 & -13 & 13 :
A = 1 - 43 & 0 - 23 & 0 + 23 0 - 23 & 1 - 13 & 0 + 13 0 + 23 & 0 + 13 & 1 - 13 = -13 & -23 & 23 -23 & 23 & 13 23 & 13 & 23
Fazendo a subtração elemento a elemento:

Passo 8

Pronto! A matriz da transformação A = -13 & -23 & 23 -23 & 23 & 13 23 & 13 & 23 relativa às bases canônicas é:

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b). Primeiro, precisamos saber se é um isomorfismo. Um isomorfismo é uma transformação linear que é bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora. Como estamos lidando com reflexões, que são invertíveis, é sim um isomorfismo.

Passo 10

Para encontrar a inversa de Rpi circ Rpi = I , percebemos que a reflexão é uma transformação que, quando aplicada duas vezes, retorna ao ponto original:
Rpi^-1 = Rpi
Isso significa que é sua própria inversa:

Resposta

(a) A matriz da transformação A = -13 & -23 & 23 -23 & 23 & 13 23 & 13 & 23 relativa às bases canônicas é:
Rpi^-1 = Rpi
(b) Sim, é um isomorfismo e sua inversa é ele mesmo:

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