Considere o plano . Seja a reflexão em torno do plano .
(a) Determine a matriz da transformação (relativa às bases canônicas).
(b) é um isomorfismo? Se for, calcule sua inversa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que trabalhar com um plano no espaço, definido por . A gente precisa descobrir a matriz que representa a reflexão em torno desse plano, chamada de , usando as bases canônicas. Além disso, vamos verificar se essa transformação é um isomorfismo e, se for, encontrar sua inversa. Para isso, a gente vai usar conceitos de álgebra linear como vetores normais, produto escalar e matrizes de transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano . O vetor normal é dado pelos coeficientes das variáveis na equação do plano. Então, temos:
Esse vetor é perpendicular ao plano .
Passo 3
Agora, vamos normalizar o vetor |n| = raiz2^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6 para obter um vetor unitário n = 1raiz6 2 1 -1 . Isso é importante porque a fórmula da reflexão utiliza um vetor unitário. A magnitude de é:
Então, o vetor unitário é:
Passo 4
A fórmula para a reflexão de um vetor Rpi(v) = v - 2 (v cdot n) n em relação ao plano é:
Aqui, é o produto escalar entre e . Essa expressão nos dá a reflexão de em relação ao plano.
Passo 5
Para encontrar a matriz A = I - 2 n n^T que representa , precisamos expressar a transformação linear em termos de matrizes. A expressão geral para a matriz de reflexão é:
Onde é a matriz identidade de ordem 3 e é o produto externo do vetor unitário com ele mesmo.
Pronto! A matriz da transformação A = -13 & -23 & 23 -23 & 23 & 13 23 & 13 & 23 relativa às bases canônicas é:
Passo 9
Agora, vamos para a parte (b). Primeiro, precisamos saber se é um isomorfismo. Um isomorfismo é uma transformação linear que é bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora. Como estamos lidando com reflexões, que são invertíveis, é sim um isomorfismo.
Passo 10
Para encontrar a inversa de Rpi circ Rpi = I , percebemos que a reflexão é uma transformação que, quando aplicada duas vezes, retorna ao ponto original:
Rpi^-1 = Rpi
Isso significa que é sua própria inversa:
Resposta
(a) A matriz da transformação A = -13 & -23 & 23 -23 & 23 & 13 23 & 13 & 23 relativa às bases canônicas é:
Rpi^-1 = Rpi
(b) Sim, é um isomorfismo e sua inversa é ele mesmo: