Seja M=(llll3 & 1 & 1 & 1 0 & 2 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1).
(a) Calcule os autovalores e autovetores de M;
(b) M é diagonalizável? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma matriz quadrada e precisamos encontrar seus autovalores e autovetores, além de verificar se ela é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como autovalores, autovetores e diagonalização. Vamos seguir passo a passo para facilitar o entendimento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de M = 3 & 1 & 1 & 1 0 & 2 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 . Para uma matriz triangular superior, os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Olhando para :
Os autovalores são , , e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada , resolvemos a equação , onde é a matriz identidade e é o autovetor.

Passo 4

Autovalor M - 3I = 0 & 1 & 1 & 1 0 & -1 & 0 & 1 0 & 0 & -2 & 1 0 & 0 & 0 & -2 :
v1 = 1 0 0 0
Resolvendo , obtemos o autovetor correspondente:

Passo 5

Autovalor M - 2I = 1 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & -1 :
v2 = -1 0 1 0
Resolvendo , encontramos o autovetor:

Passo 6

Autovalor M - I = 2 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 :
Como v3 = -1 0 1 0 , v4 = -1 -1 0 1 tem multiplicidade 2, precisamos encontrar dois autovetores distintos. Vamos resolver :
Resolvendo, obtemos os autovetores:

Passo 7

Agora que temos todos os autovalores e autovetores, vamos para a parte (b) do exercício: Verificar se é diagonalizável.
Uma matriz é diagonalizável se o número de autovetores linearmente independentes for igual à dimensão da matriz. No nosso caso, temos 4 autovetores distintos para uma matriz 4x4, o que indica que é diagonalizável.

Resposta

(a) Os autovalores de v1 = 1 0 0 0, v2 = -1 0 1 0, v3 = -1 -1 0 1 são e . Os autovetores correspondentes são:
(b) A matriz é diagonalizável, pois possui 4 autovetores linearmente independentes.

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