Seja .
(a) Calcule os autovalores e autovetores de M;
(b) M é diagonalizável? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma matriz quadrada e precisamos encontrar seus autovalores e autovetores, além de verificar se ela é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como autovalores, autovetores e diagonalização. Vamos seguir passo a passo para facilitar o entendimento.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de M = 3 & 1 & 1 & 1 0 & 2 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 . Para uma matriz triangular superior, os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Olhando para :
Os autovalores são , , e .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada , resolvemos a equação , onde é a matriz identidade e é o autovetor.
Como v3 = -1 0 1 0 , v4 = -1 -1 0 1 tem multiplicidade 2, precisamos encontrar dois autovetores distintos. Vamos resolver :
Resolvendo, obtemos os autovetores:
Passo 7
Agora que temos todos os autovalores e autovetores, vamos para a parte (b) do exercício: Verificar se é diagonalizável.
Uma matriz é diagonalizável se o número de autovetores linearmente independentes for igual à dimensão da matriz. No nosso caso, temos 4 autovetores distintos para uma matriz 4x4, o que indica que é diagonalizável.
Resposta
(a) Os autovalores de v1 = 1 0 0 0, v2 = -1 0 1 0, v3 = -1 -1 0 1 são e . Os autovetores correspondentes são:
(b) A matriz é diagonalizável, pois possui 4 autovetores linearmente independentes.