(a) Mostre que se A é uma matriz inversível, então lambda=0 não é autovalor de A.
(b) Suponha que A é uma matriz 3 times 3, possui dois autovalores distintos e cada autoespaço possui dimensão 1. A é diagonalizável? Justifique.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que está sendo pedido nas duas partes deste exercício.
Parte (a): Precisamos mostrar que se é uma matriz inversível, então não é um autovalor de .
Parte (b): Dada uma matriz de tamanho que possui dois autovalores distintos e cada autoespaço tem dimensão 1, queremos saber se é diagonalizável e justificar a resposta.
Para resolver essas questões, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de álgebra linear, como matrizes inversíveis, autovalores, autoespaços e diagonalização de matrizes.

Resolução da Parte (a)

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz A cdot A^-1 = A^-1 cdot A = I é inversível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre autovalores. Um número A v = lambda v é chamado de autovalor de (A - lambda I) v = 0 se existe um vetor não nulo tal que:
Isso também pode ser escrito como:

Passo 4

Para que exista um vetor não nulo det(A - lambda I) = 0 que satisfaz essa equação, o determinante da matriz deve ser zero:
Isso é conhecido como a equação característica de .

Passo 5

Agora, vamos analisar o caso quando det(A - 0 cdot I) = det(A) = 0 . Substituindo na equação característica:

Passo 6

Se , isso significa que não é inversível. Mas no nosso caso, sabemos que é inversível, ou seja, .

Passo 7

Portanto, se é inversível, a equação não se satisfaz. Isso implica que não pode ser um autovalor de .

Resolução da Parte (b)

Passo 8

Queremos saber se a matriz de tamanho é diagonalizável, dado que ela possui dois autovalores distintos e cada autoespaço tem dimensão 1.
Uma matriz é diagonalizável se existência uma base de autovetores, ou seja, se a soma das dimensões dos autoespaços for igual ao tamanho da matriz.

Passo 9

Aqui, temos dois autovalores distintos e cada um tem um autoespaço de dimensão 1. Vamos calcular a soma das dimensões dos autoespaços:
1 (dimensão do primeiro autoespaço) + 1 (dimensão do segundo autoespaço) = 2 ãçãç

Passo 10

Como a matriz é , precisamos de três vetores autovetores linearmente independentes para que seja diagonalizável.

Passo 11

Mas, neste caso, a soma das dimensões dos autoespaços é apenas 2, o que é menor que 3. Isso significa que não há autovetores suficientes para formar uma base completa.

Passo 12

Portanto, a matriz não é diagonalizável.

Resposta

(a) Se é inversível, então não é um autovalor de .
(b) A matriz de tamanho com dois autovalores distintos e cada autoespaço de dimensão 1 não é diagonalizável.

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