(a) Mostre que se
é uma matriz inversível, então
não é autovalor de
.
(b) Suponha que
é uma matriz
, possui dois autovalores distintos e cada autoespaço possui dimensão 1.
é diagonalizável? Justifique.
(b) Suponha que
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que está sendo pedido nas duas partes deste exercício.
Parte (a): Precisamos mostrar que se
é uma matriz inversível, então
não é um autovalor de
.
Parte (b): Dada uma matriz
de tamanho
que possui dois autovalores distintos e cada autoespaço tem dimensão 1, queremos saber se
é diagonalizável e justificar a resposta.
Para resolver essas questões, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de álgebra linear, como matrizes inversíveis, autovalores, autoespaços e diagonalização de matrizes.
Resolução da Parte (a)
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz
é inversível se existe outra matriz
tal que:
onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre autovalores. Um número
é chamado de autovalor de
se existe um vetor não nulo
tal que:
Isso também pode ser escrito como:
Passo 4
Para que exista um vetor não nulo
que satisfaz essa equação, o determinante da matriz
deve ser zero:
Isso é conhecido como a equação característica de
.
Passo 5
Agora, vamos analisar o caso quando
. Substituindo na equação característica:
Passo 6
Se
, isso significa que
não é inversível. Mas no nosso caso, sabemos que
é inversível, ou seja,
.
Passo 7
Portanto, se
é inversível, a equação
não se satisfaz. Isso implica que
não pode ser um autovalor de
.
Resolução da Parte (b)
Passo 8
Queremos saber se a matriz
de tamanho
é diagonalizável, dado que ela possui dois autovalores distintos e cada autoespaço tem dimensão 1.
Uma matriz é diagonalizável se existência uma base de autovetores, ou seja, se a soma das dimensões dos autoespaços for igual ao tamanho da matriz.
Passo 9
Aqui, temos dois autovalores distintos e cada um tem um autoespaço de dimensão 1. Vamos calcular a soma das dimensões dos autoespaços:
Passo 10
Como a matriz é
, precisamos de três vetores autovetores linearmente independentes para que
seja diagonalizável.
Passo 11
Mas, neste caso, a soma das dimensões dos autoespaços é apenas 2, o que é menor que 3. Isso significa que não há autovetores suficientes para formar uma base completa.
Passo 12
Portanto, a matriz
não é diagonalizável.
Resposta
(a) Se
é inversível, então
não é um autovalor de
.
(b) A matriz
de tamanho
com dois autovalores distintos e cada autoespaço de dimensão 1 não é diagonalizável.