Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Se(a, b, c)+(x, y, z)=(x, y, z), então (a, b, c) necessariamente é o vetor nulo;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem dois vetores: (a, b, c) + (x, y, z) = (x, y, z) e . A afirmação diz que se a soma desses dois vetores é igual ao segundo vetor, ou seja:
Então, precisamos descobrir se isso significa necessariamente que é o vetor nulo . Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos de vetores e operações com eles.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona a soma de vetores. Quando somamos dois vetores, somamos cada componente correspondente. Ou seja:
(a, b, c) + (x, y, z) = (a + x, b + y, c + z)
Então, se a soma dos vetores (a + x, b + y, c + z) = (x, y, z) e , temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar o que isso significa para cada componente individualmente. Se dois vetores são iguais, todas as suas componentes correspondentes devem ser iguais. Portanto, podemos escrever:
a + x = x b + y = y c + z = z

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas equações:
  1. a = 0
    Subtraindo b = 0 de ambos os lados:
    c = 0
  2. Subtraindo de ambos os lados:
  3. Subtraindo de ambos os lados:

Passo 5

Viu só? Chegamos à conclusão de que , e . Isso significa que o vetor é, de fato, o vetor nulo .

Resposta

A afirmação é verdadeira. O vetor necessariamente é o vetor nulo .

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