Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. As combinaçöes lineares
e
só podem ser iguais se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que as combinações lineares
e
só podem ser iguais se
e
. Isso está relacionado com o tema de combinações lineares e dependência linear de vetores. Vamos precisar entender quando diferentes coeficientes podem ou não resultar na mesma combinação de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Se tivermos vetores
e
, uma combinação linear deles é qualquer vetor que pode ser escrito como
, onde
e
são números (coeficientes).
Passo 3
Agora, se imaginarmos que
e
são linearmente independentes, isso significa que não existe nenhum par de coeficientes
e
(diferentes de zero) que tornem
. Nesse caso, se duas combinações lineares são iguais, os coeficientes devem ser iguais, ou seja,
e
.
Passo 4
Porém, se
e
são linearmente dependentes, significa que um dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro. Por exemplo, suponha que
para algum número
. Nesse cenário, podemos encontrar diferentes coeficientes
e
que resultam na mesma combinação linear, sem que necessariamente
e
.
Resposta
A afirmação é falsa.