Estude a posição relativa de r e pi: r: X=(1,1,0)+lambda(1,-1,1) pi: x+y-2=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa estudar a posição relativa de uma reta e um plano . Isso faz parte da geometria analítica no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar as equações da reta e do plano e verificar se a reta está no plano, é paralela ou se corta o plano em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações que temos:
  • Reta :
    Aqui, é o ponto inicial da reta e é o vetor diretor da reta.
  • Plano :

Passo 3

Vamos entender o que isso significa. A reta está definida por um ponto e um vetor diretor, enquanto o plano está definido por uma equação linear. Para descobrir como a reta se relaciona com o plano, podemos substituir as coordenadas da reta na equação do plano e ver o que acontece.

Passo 4

Vamos substituir as coordenadas da reta (1 + lambda) + (1 - lambda) - 2 = 0 na equação do plano :

Passo 5

Simplificando a equação:
1 + lambda + 1 - lambda - 2 = 0 (1 + 1 - 2) + (lambda - lambda) = 0 0 = 0

Passo 6

Vemos que a equação se reduz a , que é sempre verdadeira. Isso significa que, para qualquer valor de , as coordenadas da reta satisfazem a equação do plano.

Resposta

A reta está contida no plano ; ou seja, e coincidem.

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