Considere o plano
pi: 2 x+z-9=0
Qual das retas abaixo não está contida neste plano?
c) r: X=(1,-5,7)+lambda(1,3,-2), lambda in R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a reta dada está ou não contida no plano definido pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. O que a gente precisa fazer é verificar se todos os pontos da reta satisfazem a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do plano . Ela está na forma geral , onde , (já que não tem termo ), e . O plano é definido por todos os pontos que satisfazem essa equação.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a reta X = (1, -5, 7) + lambda (1, 3, -2), lambda in R dada pela equação vetorial:
Aqui, é um ponto da reta e é o vetor diretor da reta. Para saber se a reta está no plano, precisamos verificar se todo ponto da reta satisfaz a equação do plano.

Passo 4

Vamos expressar os componentes x = 1 + lambda y = -5 + 3lambda z = 7 - 2lambda da reta em termos do parâmetro 2(1 + lambda) + (7 - 2lambda) - 9 = 0 :
Agora, substituímos esses valores na equação do plano :

Passo 5

Vamos resolver essa equação:
2 + 2lambda + 7 - 2lambda - 9 = 0 (2 + 7 - 9) + (2lambda - 2lambda) = 0 0 = 0
Viu só? A equação simplifica para , que é sempre verdadeira, independente do valor de .

Passo 6

Como a substituição resultou em uma igualdade verdadeira para qualquer valor de , isso significa que todos os pontos da reta estão no plano . Portanto, a reta está contida no plano.

Resposta

A reta está contida no plano .

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