Seja a reta paralela a reta e que passa pela origem. Considere as sentenças:
O ponto pertence a reta
A reta é ortogonal a reta
A reta está contida no plano
A reta é paralela ao plano
O número exato de sentenças corretas é:
c) 3
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma reta que é paralela à reta e que passa pela origem. Precisamos analisar quatro afirmações sobre a reta e determinar quantas estão corretas. Para isso, vamos precisar de conceitos de geometria analítica, como retas paralelas, ortogonais, e relações com planos.
Passo 2
Primeiro, identificamos a direção da reta . A equação pode ser escrita parametricamente como:
O vetor diretor da reta é . Como a reta é paralela a , ela terá o mesmo vetor diretor.
Passo 3
Agora, como a reta x = 0 + t y = 0 + 2t z = 0 + t passa pela origem, podemos escrever sua equação paramétrica:
Portanto, a equação vetorial da reta é .
Passo 4
Analisemos a primeira afirmação: "O ponto x = t Rightarrow t = 2 y = 2t = 4 z = t = 2 pertence a reta ". Substituindo na equação de :
Mas deveria ser 5, o que não ocorre. Portanto, essa afirmação é falsa.
Passo 5
A segunda afirmação: "A reta dr cdot d = (1, 2, 1) cdot (1, 0, -1) = 1 times 1 + 2 times 0 + 1 times (-1) = 1 - 1 = 0 é ortogonal à reta ". O vetor diretor dessa reta é .
Para duas retas serem ortogonais, o produto escalar de seus vetores diretores deve ser zero:
Como o produto escalar é zero, as retas são ortogonais. Essa afirmação é verdadeira.
Passo 6
Terceira afirmação: "A reta x - y + z = t - 2t + t = 0 está contida no plano ". Para verificar, substituímos os pontos da reta na equação do plano.
Tomando a equação paramétrica de :
Isso é sempre verdade para qualquer , então todos os pontos de estão no plano . Essa afirmação é verdadeira.
Passo 7
Quarta afirmação: "A reta dr cdot n = (1, 2, 1) cdot (-2, 1, 0) = -2 + 2 + 0 = 0 é paralela ao plano ". Para verificar, comparamos o vetor diretor de com a normal do plano.
A normal do plano é . Se o vetor diretor de é paralelo ao plano, ele deve ser perpendicular à normal do plano:
Como o produto escalar é zero, o vetor diretor de é perpendicular à normal, ou seja, paralelo ao plano. Essa afirmação é verdadeira.