Nos itens a seguir determine todos os números reais c tais que :
(I)
(II)
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(I)
(II)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor a que é igual a ←5, 12→. A pergunta quer que a gente encontre todos os números reais c que, quando multiplicados por esse vetor, atendem às seguintes condições:
- A norma (ou tamanho) do vetor resultante ||c a|| é igual a 3.
- A norma do vetor resultante ||c a|| é igual a 0.
Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a norma de um vetor e entender como a multiplicação por um escalar c afeta essa norma.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a norma do vetor a. A fórmula para a norma de um vetor <x, y> é:
Aplicando isso ao nosso vetor a = ←5, 12→:
Então, a norma do vetor a é 13.
Passo 3
Agora, quando multiplicamos o vetor a por um escalar c, o vetor resultante é c a = ←5c, 12c→, e a norma desse vetor é:
Note que a norma depende do valor absoluto de c, ou seja,
.
Passo 4
Vamos resolver a parte (I) da questão:
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Substituindo a expressão que encontramos:
Para encontrar c, dividimos ambos os lados por 13:
Isso significa que c pode ser positivo ou negativo:
Passo 5
Agora, vamos resolver a parte (II) da questão:
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Usando a expressão:
Como 13 é um número positivo, para que a igualdade seja verdadeira, o valor absoluto de c deve ser zero:
Resposta
(I) Os números reais c são
e
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(II) O número real c é 0.