Nos itens a seguir determine todos os números reais c tais que :
(I) |c a|=3
(II) |c a|=0.
<-5,12>.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor a que é igual a ←5, 12→. A pergunta quer que a gente encontre todos os números reais c que, quando multiplicados por esse vetor, atendem às seguintes condições:
  1. A norma (ou tamanho) do vetor resultante ||c a|| é igual a 3.
  2. A norma do vetor resultante ||c a|| é igual a 0.
Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a norma de um vetor e entender como a multiplicação por um escalar c afeta essa norma.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a norma do vetor a. A fórmula para a norma de um vetor <x, y> é:
|a| = raizx^2 + y^2
Aplicando isso ao nosso vetor a = ←5, 12→:
|a| = raiz(-5)^2 + 12^2 = raiz25 + 144 = raiz169 = 13
Então, a norma do vetor a é 13.

Passo 3

Agora, quando multiplicamos o vetor a por um escalar c, o vetor resultante é c a = ←5c, 12c→, e a norma desse vetor é:
|c,a| = raiz(5c)^2 + (12c)^2 = raiz25c^2 + 144c^2 = raiz169c^2 = 13|c|
Note que a norma depende do valor absoluto de c, ou seja, .

Passo 4

Vamos resolver a parte (I) da questão: 13|c| = 3 .
Substituindo a expressão que encontramos:
|c| = 313
Para encontrar c, dividimos ambos os lados por 13:
c = 313 ou c = -313
Isso significa que c pode ser positivo ou negativo:

Passo 5

Agora, vamos resolver a parte (II) da questão: 13|c| = 0 .
Usando a expressão:
|c| = 0 implies c = 0
Como 13 é um número positivo, para que a igualdade seja verdadeira, o valor absoluto de c deve ser zero:

Resposta

(I) Os números reais c são e .
(II) O número real c é 0.

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