Considere a reta
r: x-17=2-y2=2 z+10
O plano que é ortogonal a r e passa pelo ponto A=(9,1,2) é:
d) pi: 7 x+2 y+z=-62

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica. O enunciado nos apresenta uma reta x-17 = 2-y2 = 2z + 10 definida por:
E nos pede para encontrar o plano que é ortogonal a essa reta e que passa pelo ponto . Para resolver esse problema, vamos precisar entender conceitos de retas e planos no espaço tridimensional, além de como determinar a ortogonalidade entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta x-17 = 2-y2 = 2z + 10 . A forma simétrica da reta nos permite extrair os coeficientes que representam as direções dos eixos x-17 = t Rightarrow x = 7t + 1 , 2 - y2 = t Rightarrow y = 2 - 2t e 2z + 10 = t Rightarrow z = t - 102 . Observando a equação:
d = 7 -2 12
Podemos reescrever cada parte igualando a um parâmetro :
Dessa forma, o vetor diretor da reta é:

Passo 3

Para encontrar o plano ortogonal à reta n = 7 -2 12 , precisamos que o vetor normal n = 14 -4 1 do plano seja paralelo ao vetor diretor da reta. Ou seja, podemos tomar :
No entanto, para facilitar os cálculos, podemos multiplicar todos os componentes por 2 para eliminar a fração:

Passo 4

A equação geral de um plano é dada por:
a x + b y + c z + d = 0
onde 14x - 4y + z + d = 0 são as componentes do vetor normal . Substituindo os valores, temos:

Passo 5

Para determinar o valor de 14(9) - 4(1) + (2) + d = 0 126 - 4 + 2 + d = 0 124 + d = 0 d = -124 , usamos o ponto que pertence ao plano. Substituindo na equação:

Resposta

Portanto, a equação do plano é:
14x - 4y + z - 124 = 0
Simplificando, dividindo todos os termos por 2:
7x - 2y + 12z - 62 = 0
Multiplicando por 2 para eliminar a fração:
7x - 2y + z - 124 = 0 Rightarrow 7x + 2y + z = -124
Assim, a opção d) está correta:
pi: 7x + 2y + z = -62

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