Considere no plano R^2 os vetores I=(-0.5,-0.5), J=(1,0) e K=(0,1). Seja O=(0,0). Para cada ponto P=(x, y, z) in R^3, seja tildeP=O+x I+y I+z K.
Para P=(2,3,4), faça um esboço de widetildeP, desenhando o paralelepípedo com O P como diagonal, como se fosse uma representaçōo de P pela perspectiva cavaleira. Repita o
exercicio para I=(-0.7,-0.4).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos alguns vetores no plano R^2: I=(-0.5,-0.5), J=(1,0) e K=(0,1). O ponto de origem é O=(0,0). Para cada ponto P=(x, y, z) no espaço R^3, a representação no plano é dada por:
tildeP = O + x I + y J + z K
O exercício pede para, para P=(2,3,4), fazer um esboço de tildeP desenhando um paralelepípedo com OP como diagonal, usando a perspectiva cavaleira. Depois, repetir o mesmo exercício alterando o vetor I para (-0.7,-0.4). Vamos precisar usar conceitos de vetores, transformações lineares e projeção cavaleira.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação para encontrar tildeP quando P=(2,3,4) usando os vetores dados. A fórmula é:
tildeP = O + x I + y J + z K
Substituindo x=2, y=3 e z=4, temos:
tildeP = (0,0) + 2 I + 3 J + 4 K

Passo 3

Agora, vamos multiplicar cada vetor pelos seus respectivos coeficientes:
2 I = 2 times (-0.5, -0.5) = (-1.0, -1.0)
3 J = 3 times (1, 0) = (3, 0)
4 K = 4 times (0, 1) = (0, 4)

Passo 4

Em seguida, somamos todos esses resultados para obter as coordenadas de tildeP:
tildeP = (-1.0, -1.0) + (3, 0) + (0, 4) = (-1.0 + 3 + 0, -1.0 + 0 + 4) = (2.0, 3.0)
Então, tildeP = (2.0, 3.0) no plano.

Passo 5

Agora, vamos entender como desenhar o paralelepípedo. A perspectiva cavaleira é uma técnica de projeção onde um dos eixos (geralmente o eixo Z) é representado de forma inclinada para dar uma ilusão de profundidade. O paralelepípedo terá OP como sua diagonal principal. Para desenhá-lo:
  1. Comece desenhando o ponto de origem O = (0,0).
  2. Marque o ponto tildeP = (2.0, 3.0) no plano.
  3. Use as direções dos vetores I, J e K para desenhar as arestas do paralelepípedo a partir de O até tildeP.
  4. Complete o paralelepípedo conectando os vértices correspondentes.

Passo 6

Agora, vamos repetir o exercício com o vetor I = (-0.7, -0.4). Usando a mesma fórmula:
tildeP = O + x I + y J + z K
Substituindo x=2, y=3 e z=4, temos:
tildeP = (0,0) + 2 times (-0.7, -0.4) + 3 times (1, 0) + 4 times (0, 1)

Passo 7

Vamos calcular cada termo:
2 times (-0.7, -0.4) = (-1.4, -0.8)
3 times (1, 0) = (3, 0)
4 times (0, 1) = (0, 4)
Somando:
tildeP = (-1.4, -0.8) + (3, 0) + (0, 4) = (-1.4 + 3 + 0, -0.8 + 0 + 4) = (1.6, 3.2)
Então, tildeP = (1.6, 3.2) no plano.

Passo 8

Assim como antes, desenhe o paralelepípedo na perspectiva cavaleira usando o novo tildeP = (1.6, 3.2). Siga os mesmos passos:
  1. Origem O = (0,0).
  2. Ponto tildeP = (1.6, 3.2).
  3. Use os vetores I, J e K para definir as arestas.
  4. Complete o paralelepípedo.

Resposta

Após realizar os cálculos, os pontos transformados são tildeP = (2.0, 3.0) com I=(-0.5,-0.5) e tildeP = (1.6, 3.2) com I=(-0.7,-0.4). Utilize esses pontos para desenhar os respectivos paralelepípedos na perspectiva cavaleira, seguindo os passos explicados acima.

Exercícios relacionados