Seja
. Definamos:
Mostre que
é um espaço vetorial real.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem o conjunto
, que são os números reais positivos. A gente definiu duas operações:
O objetivo aqui é mostrar que
é um espaço vetorial sobre os números reais. Isso significa que precisamos verificar se essas operações satisfazem todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre
precisa satisfazer algumas propriedades, como fechamento sob adição e multiplicação escalar, existência de um vetor nulo, existência de inversos, e algumas outras leis como comutatividade e distributividade.
Passo 3
Vamos começar verificando se
é fechado sob a operação
. Isso significa que se pegarmos dois elementos
e
em
, o resultado de
também deve estar em
.
Dado que
e
são positivos, seu produto
também é positivo. Então,
é fechado sob
.
Passo 4
Agora, vamos ver o fechamento sob a multiplicação escalar
. Pegamos um escalar
e um vetor
. A operação
deve resultar em outro elemento de
.
Como
é positivo e estamos elevando a uma potência real,
também é positivo (desde que
). Portanto,
é fechado sob
.
Passo 5
Vamos identificar o vetor nulo no espaço. O vetor nulo é aquele que, adicionado a qualquer vetor
, retorna
. No nosso caso:
Para que isso seja verdadeiro para todo
, precisamos que
, já que
. Então,
é o vetor nulo.
Passo 6
Verifiquemos a existência do inverso aditivo. Para cada
, deve existir um
tal que:
Porque nosso vetor nulo é 1. Então, precisamos que
. Isso implica que
.
Como
,
, então
. Logo, todo vetor tem um inverso aditivo em
.
Passo 7
Vamos conferir a comutatividade da adição
:
Então,
é comutativa.
Passo 8
Agora, a associatividade da adição:
Assim,
é associativa.
Passo 9
Vamos verificar a distributividade da multiplicação escalar em relação à adição vetorial:
Portanto, a distributividade é satisfeita.
Passo 10
Finalmente, a distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de escalares:
E também,
Tudo está funcionando certinho!
Resposta
Concluímos que
com as operações definidas é, de fato, um espaço vetorial real.