Seja V=R^+. Definamos:
v1 oplus v2 & =v1 v2 alpha odot v & =v^alpha
Mostre que V é um espaço vetorial real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem o conjunto v1 oplus v2 & = v1 v2 alpha odot v & = v^alpha , que são os números reais positivos. A gente definiu duas operações:
O objetivo aqui é mostrar que é um espaço vetorial sobre os números reais. Isso significa que precisamos verificar se essas operações satisfazem todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre precisa satisfazer algumas propriedades, como fechamento sob adição e multiplicação escalar, existência de um vetor nulo, existência de inversos, e algumas outras leis como comutatividade e distributividade.

Passo 3

Vamos começar verificando se é fechado sob a operação . Isso significa que se pegarmos dois elementos e em , o resultado de também deve estar em .
Dado que e são positivos, seu produto também é positivo. Então, é fechado sob .

Passo 4

Agora, vamos ver o fechamento sob a multiplicação escalar . Pegamos um escalar e um vetor . A operação deve resultar em outro elemento de .
Como é positivo e estamos elevando a uma potência real, também é positivo (desde que ). Portanto, é fechado sob .

Passo 5

Vamos identificar o vetor nulo no espaço. O vetor nulo é aquele que, adicionado a qualquer vetor v oplus v0 = v times v0 = v , retorna . No nosso caso:
Para que isso seja verdadeiro para todo , precisamos que , já que . Então, é o vetor nulo.

Passo 6

Verifiquemos a existência do inverso aditivo. Para cada v oplus (-v) = 1 , deve existir um tal que:
Porque nosso vetor nulo é 1. Então, precisamos que . Isso implica que .
Como , , então . Logo, todo vetor tem um inverso aditivo em .

Passo 7

Vamos conferir a comutatividade da adição v1 oplus v2 = v1 v2 = v2 v1 = v2 oplus v1 :
Então, é comutativa.

Passo 8

Agora, a associatividade da adição:
(v1 oplus v2) oplus v3 = (v1 v2) v3 = v1 (v2 v3) ) = v1 oplus (v2 oplus v3)
Assim, é associativa.

Passo 9

Vamos verificar a distributividade da multiplicação escalar em relação à adição vetorial:
alpha odot (v1 oplus v2) = (v1 v2)^alpha = v1^alpha v2^alpha = (alpha odot v1) oplus (alpha odot v2)
Portanto, a distributividade é satisfeita.

Passo 10

Finalmente, a distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de escalares:
(alpha + beta) odot v = v^alpha + beta = v^alpha v^beta = (alpha odot v) oplus (beta odot v)
E também,
alpha odot (beta odot v) = (v^beta)^alpha = v^alpha beta = (alpha beta) odot v
Tudo está funcionando certinho!

Resposta

Concluímos que com as operações definidas é, de fato, um espaço vetorial real.

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