Prove que os vetores u=7 i-3 j+6 k, v=3 i+3 j-2 k e w=6 i-16 j-15 k são dois a dois perpendiculares.

Passo 1

Então, temos um exercício de geometria vetorial. Precisamos provar que os vetores u=7 i-3 j+6 k, v=3 i+3 j-2 k e w=6 i-16 j-15 k são dois a dois perpendiculares. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for igual a zero. O produto escalar de dois vetores a = a1 i + a2 j + a3 k e b = b1 i + b2 j + b3 k é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar entre u e v:
u cdot v = (7)(3) + (-3)(3) + (6)(-2) = 21 - 9 - 12 = 0
Como o resultado foi zero, u e v são perpendiculares.

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar entre u e w:
u cdot w = (7)(6) + (-3)(-16) + (6)(-15) = 42 + 48 - 90 = 0
O resultado também é zero, então u e w são perpendiculares.

Passo 5

Por fim, vamos calcular o produto escalar entre v e w:
v cdot w = (3)(6) + (3)(-16) + (-2)(-15) = 18 - 48 + 30 = 0
Mais uma vez, o resultado é zero, o que significa que v e w são perpendiculares.

Resposta

Os vetores u, v e w são dois a dois perpendiculares porque todos os produtos escalares entre eles são iguais a zero.

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