Seja V=R^2. Para todo (x1, x2),(y1, y2) in V e alpha in R, definamos:
(x1, x2) oplus(y1, y2)=(x1+y1+1, x2+y2-3) alpha odot(x1, x2)=(alpha x1+alpha-1, alpha x2-3 alpha+3)
Mostre que V é um espaço vetorial real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que o conjunto com as operações definidas e é um espaço vetorial real. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos verificar se as operações dadas satisfazem os axiomas de um espaço vetorial. Vamos precisar lembrar quais são esses axiomas e como aplicá-los às operações definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as operações definidas:
  • Adição ( (x1, x2) oplus (y1, y2) = (x1 + y1 + 1, , x2 + y2 - 3) ):
    alpha odot (x1, x2) = (alpha x1 + alpha - 1, , alpha x2 - 3alpha + 3)
  • Multiplicação por escalar ( ):
Vamos verificar se essas operações satisfazem os axiomas de um espaço vetorial.

Passo 3

Axioma 1: Comutatividade da Adição
Precisamos verificar se:
u oplus v = v oplus u
onde u oplus v = (x1 + y1 + 1, , x2 + y2 - 3) e v oplus u = (y1 + x1 + 1, , y2 + x2 - 3) .
Calculando ambos os lados:
u oplus v = v oplus u
Como a adição real é comutativa ( e ), temos:
Então, o axioma da comutatividade é satisfeito.

Passo 4

Axioma 2: Associatividade da Adição
Precisamos verificar se:
(u oplus v) oplus w = u oplus (v oplus w)
onde (u oplus v) oplus w = ((x1 + y1 + 1) + z1 + 1, , (x2 + y2 - 3) + z2 - 3) = (x1 + y1 + z1 + 2, , x2 + y2 + z2 - 6) , u oplus (v oplus w) = (x1 + (y1 + z1 + 1) + 1, , x2 + (y2 + z2 - 3) - 3) = (x1 + y1 + z1 + 2, , x2 + y2 + z2 - 6) e .
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Como ambos os lados são iguais, o axioma da associatividade é satisfeito.

Passo 5

Axioma 3: Existência do Elemento Neutro da Adição
Precisamos encontrar um vetor u oplus 0 = u tal que:
(x1 + a + 1, , x2 + b - 3) = (x1, x2)
para todo x1 + a + 1 = x1 Rightarrow a = -1 em x2 + b - 3 = x2 Rightarrow b = 3 .
Vamos supor que . Então:
Isso resulta nas equações:
Portanto, o elemento neutro é , e existe.

Passo 6

Axioma 4: Existência do Inverso Aditivo
Para cada u oplus (-u) = 0 , precisamos encontrar (x1 + y1 + 1, , x2 + y2 - 3) = (-1, 3) tal que:
x1 + y1 + 1 = -1 Rightarrow y1 = -x1 - 2
Sabemos que x2 + y2 - 3 = 3 Rightarrow y2 = -x2 + 6 . Vamos calcular:
Isso nos dá:
Então, o inverso aditivo de é , e existe para todo .

Passo 7

Axioma 5: Compatibilidade da Multiplicação Escalar com a Multiplicação Real
Precisamos verificar se:
a odot (b odot u) = (a cdot b) odot u
para todos b odot u = (b x1 + b - 1, , b x2 - 3b + 3) e a odot (b odot u) = (a(b x1 + b - 1) + a - 1, , a(b x2 - 3b + 3) - 3a + 3) .
Calculando o lado esquerdo:
= (a b x1 + a b - a + a - 1, , a b x2 - 3a b + 3a - 3a + 3) = (a b x1 + a b - 1, , a b x2 - 3a b + 3)
(a cdot b) odot u = (a b x1 + a b - 1, , a b x2 - 3 a b + 3)
Simplificando:
Calculando o lado direito:
Como ambos os lados são iguais, o axioma é satisfeito.

Passo 8

Axioma 6: Distributividade da Multiplicação Escalar em Relação à Adição de Vetores
Precisamos verificar se:
alpha odot (u oplus v) = alpha odot u oplus alpha odot v
para todo u oplus v = (x1 + y1 + 1, , x2 + y2 - 3) e alpha odot (u oplus v) = (alpha(x1 + y1 + 1) + alpha - 1, , alpha(x2 + y2 - 3) - 3alpha + 3) .
Calculando o lado esquerdo:
= (alpha x1 + alpha y1 + alpha + alpha - 1, , alpha x2 + alpha y2 - 3alpha - 3alpha + 3) = (alpha x1 + alpha y1 + 2alpha - 1, , alpha x2 + alpha y2 - 6alpha + 3)
alpha odot u = (alpha x1 + alpha - 1, , alpha x2 - 3alpha + 3)
Simplificando:
alpha odot v = (alpha y1 + alpha - 1, , alpha y2 - 3alpha + 3)
Calculando o lado direito:
alpha odot u oplus alpha odot v = (alpha x1 + alpha - 1 + alpha y1 + alpha - 1 + 1, , alpha x2 - 3alpha + 3 + alpha y2 - 3alpha + 3 - 3)
= (alpha x1 + alpha y1 + 2alpha - 1, , alpha x2 + alpha y2 - 6alpha + 3)
Simplificando:
Como ambos os lados são iguais, o axioma é satisfeito.

Passo 9

Axioma 7: Distributividade da Multiplicação Escalar em Relação à Adição de Escalares
Precisamos verificar se:
(alpha + beta) odot u = alpha odot u oplus beta odot u
para todos (alpha + beta) odot u = ((alpha + beta)x1 + (alpha + beta) - 1, , (alpha + beta)x2 - 3(alpha + beta) + 3) e = (alpha x1 + beta x1 + alpha + beta - 1, , alpha x2 + beta x2 - 3alpha - 3beta + 3) .
Calculando o lado esquerdo:
alpha odot u = (alpha x1 + alpha - 1, , alpha x2 - 3alpha + 3)
Simplificando:
beta odot u = (beta x1 + beta - 1, , beta x2 - 3beta + 3)
Calculando o lado direito:
alpha odot u oplus beta odot u = (alpha x1 + alpha - 1 + beta x1 + beta - 1 + 1, , alpha x2 - 3alpha + 3 + beta x2 - 3beta + 3 - 3)
= (alpha x1 + beta x1 + alpha + beta - 1, , alpha x2 + beta x2 - 3alpha - 3beta + 3)
Simplificando:
Como ambos os lados são iguais, o axioma é satisfeito.

Passo 10

Axioma 8: Multiplicação Escalar por 1
Precisamos verificar se:
1 odot u = u
para todo 1 odot u = (1 cdot x1 + 1 - 1, , 1 cdot x2 - 3 cdot 1 + 3) = (x1, , x2) .
Calculando:
Portanto, , e o axioma é satisfeito.

Resposta

Como todas as propriedades necessárias foram verificadas e satisfeitas, concluímos que com as operações e definidas é, de fato, um espaço vetorial real.

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