Seja
. Para todo
e
, definamos:
Mostre que
é um espaço vetorial real.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que o conjunto
com as operações definidas
e
é um espaço vetorial real. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos verificar se as operações dadas satisfazem os axiomas de um espaço vetorial. Vamos precisar lembrar quais são esses axiomas e como aplicá-los às operações definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as operações definidas:
-
Adição (
): -
Multiplicação por escalar (
):
Vamos verificar se essas operações satisfazem os axiomas de um espaço vetorial.
Passo 3
Axioma 1: Comutatividade da Adição
Precisamos verificar se:
onde
e
.
Calculando ambos os lados:
Como a adição real é comutativa (
e
), temos:
Então, o axioma da comutatividade é satisfeito.
Passo 4
Axioma 2: Associatividade da Adição
Precisamos verificar se:
onde
,
e
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Como ambos os lados são iguais, o axioma da associatividade é satisfeito.
Passo 5
Axioma 3: Existência do Elemento Neutro da Adição
Precisamos encontrar um vetor
tal que:
para todo
em
.
Vamos supor que
. Então:
Isso resulta nas equações:
Portanto, o elemento neutro é
, e existe.
Passo 6
Axioma 4: Existência do Inverso Aditivo
Para cada
, precisamos encontrar
tal que:
Sabemos que
. Vamos calcular:
Isso nos dá:
Então, o inverso aditivo de
é
, e existe para todo
.
Passo 7
Axioma 5: Compatibilidade da Multiplicação Escalar com a Multiplicação Real
Precisamos verificar se:
para todos
e
.
Calculando o lado esquerdo:
Simplificando:
Calculando o lado direito:
Como ambos os lados são iguais, o axioma é satisfeito.
Passo 8
Axioma 6: Distributividade da Multiplicação Escalar em Relação à Adição de Vetores
Precisamos verificar se:
para todo
e
.
Calculando o lado esquerdo:
Simplificando:
Calculando o lado direito:
Simplificando:
Como ambos os lados são iguais, o axioma é satisfeito.
Passo 9
Axioma 7: Distributividade da Multiplicação Escalar em Relação à Adição de Escalares
Precisamos verificar se:
para todos
e
.
Calculando o lado esquerdo:
Simplificando:
Calculando o lado direito:
Simplificando:
Como ambos os lados são iguais, o axioma é satisfeito.
Passo 10
Axioma 8: Multiplicação Escalar por 1
Precisamos verificar se:
para todo
.
Calculando:
Portanto,
, e o axioma é satisfeito.
Resposta
Como todas as propriedades necessárias foram verificadas e satisfeitas, concluímos que
com as operações
e
definidas é, de fato, um espaço vetorial real.