Verdadeiro ou falso.
(a) Se
é uma matriz ortogonal então
.
(b) Se
é uma matriz diagonizável, isto é, existe
inversível e
diagonal tal que
, tal que
, então
.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
Vamos lá! Temos duas afirmações para avaliar se são verdadeiras ou falsas. O conteúdo aqui envolve matrizes ortogonais, determinantes, matrizes diagonalizáveis e propriedades de potências de matrizes. Para resolver, precisamos entender o que é uma matriz ortogonal, o que significa ser diagonalizável e como o determinante e as potências de matrizes funcionam.
Passo 2
Parte (a): Se
é uma matriz ortogonal, então
.
Primeiro, lembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz
é ortogonal se sua transposta é igual à sua inversa, ou seja,
. Uma propriedade importante das matrizes ortogonais é que seu determinante é sempre
ou
.
Por quê? Porque o determinante de
é igual ao determinante de
, e o determinante de
é
. Como
, temos
, o que implica que
, então
.
Passo 3
Parte (b): Se
é uma matriz diagonalizável, isto é, existe
invertível e
diagonal tal que
, e
, então
.
Aqui,
sendo diagonalizável significa que podemos escrever
como uma matriz diagonal
conjugada pela matriz
. Quando elevamos
a uma potência, temos
.
Se
, então
. Como
é diagonal,
terá os elementos diagonais elevados à 20ª potência. Para que
, todos os elementos diagonais de
devem ser zero, ou seja,
. Assim,
.
Resposta
Ambas as afirmações são verdadeiras.