Verdadeiro ou falso.
(a) Se U é uma matriz ortogonal então det U= pm 1.
(b) Se A é uma matriz diagonizável, isto é, existe P inversível e D diagonal tal que A=P D P^-1, tal que A^20=0, então A=0.

Passo 1

Vamos lá! Temos duas afirmações para avaliar se são verdadeiras ou falsas. O conteúdo aqui envolve matrizes ortogonais, determinantes, matrizes diagonalizáveis e propriedades de potências de matrizes. Para resolver, precisamos entender o que é uma matriz ortogonal, o que significa ser diagonalizável e como o determinante e as potências de matrizes funcionam.

Passo 2

Parte (a): Se é uma matriz ortogonal, então .
Primeiro, lembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz é ortogonal se sua transposta é igual à sua inversa, ou seja, . Uma propriedade importante das matrizes ortogonais é que seu determinante é sempre ou .
Por quê? Porque o determinante de é igual ao determinante de , e o determinante de é . Como , temos , o que implica que , então .

Passo 3

Parte (b): Se é uma matriz diagonalizável, isto é, existe invertível e diagonal tal que , e , então .
Aqui, sendo diagonalizável significa que podemos escrever como uma matriz diagonal conjugada pela matriz . Quando elevamos a uma potência, temos .
Se , então . Como é diagonal, terá os elementos diagonais elevados à 20ª potência. Para que , todos os elementos diagonais de devem ser zero, ou seja, . Assim, .

Resposta

Ambas as afirmações são verdadeiras.

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