Considere os planos dados pelas equações x+y+z=1 e x+y-z=2.
(a) Determine a posição relativa entre estes planos.
(b) Determine uma equação para a reta de interseção dos planos.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois planos definidos pelas equações e . A gente precisa descobrir duas coisas:
(a) Como esses planos se relacionam entre si, ou seja, se são paralelos, coincidentes ou se cruzam.
(b) Se eles se cruzam, encontrar a equação da reta de interseção deles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a posição relativa entre dois planos. Dois planos podem ser:
  • Paralelos: se têm a mesma orientação, mas estão em posições diferentes.
  • Coincidentes: se são exatamente o mesmo plano.
  • Cruzando: se se encontram ao longo de uma reta.
Para descobrir isso, a gente olha para os vetores normais dos planos. O vetor normal é formado pelos coeficientes de , e na equação do plano.
No primeiro plano , o vetor normal é .
No segundo plano , o vetor normal é .
Se os vetores normais forem paralelos, significa que os planos são paralelos ou coincidentes.

Passo 3

Vamos verificar se 1 = k cdot 1 1 = k cdot 1 -1 = k cdot 1 e são paralelos. Para isso, a gente vê se um é múltiplo do outro.
Se houver um número tal que , então os vetores são paralelos.
Comparando as componentes:
Dois primeiros mostram que , mas a terceira equação dá , o que não é possível. Então, os vetores normais não são paralelos, o que significa que os planos se cruzam.

Passo 4

Agora que sabemos que os planos se cruzam, vamos encontrar a reta de interseção. Para isso, precisamos encontrar um conjunto de valores x + y + z = 1 (1) x + y - z = 2 (2) que satisfazem ambas as equações dos planos simultaneamente.
Temos:
(x + y + z) - (x + y - z) = 1 - 2 2z = -1 z = -12
Podemos subtrair a equação (2) da equação (1):
Então, .

Passo 5

Com x + y + (-12) = 1 x + y = 1 + 12 x + y = 32 , vamos substituir esse valor em uma das equações para encontrar a relação entre x = 32 - y e x = 32 - t y = t z = -12 . Vamos usar a equação (1):
Agora, podemos expressar em termos de :
Vamos chamar de parâmetro, digamos . Então:

Resposta

A reta de interseção dos planos é dada por:
x = dfrac32 - t y = t z = -dfrac12
onde é um parâmetro real.

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