Considere a reta
com equação
no plano cartesiano
.
(a) Sabendo que a reta s tem equação
no plano cartesiano
, é perpendicular a
e passa pela origem, determine
e
.
(b) A reta
divide o plano cartesiano
em duas regiões. Considere o ponto
. Quais dos seguintes pontos se encontram na mesma região que o ponto
:
e
?
(a) Sabendo que a reta s tem equação
(b) A reta
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos duas partes nesse exercício sobre retas no plano cartesiano. Na parte (a), precisamos encontrar os coeficientes
e
da equação de uma reta perpendicular a outra reta dada e que passa pela origem. Na parte (b), vamos verificar quais pontos estão na mesma região que um ponto específico em relação a uma reta que divide o plano. Para resolver isso, vamos usar conceitos de inclinação de retas e posições relativas no plano.
Passo 2
Parte (a): Encontrando
e
Primeiro, vamos lembrar que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações (coeficientes angulares) for
. A reta
tem a equação
, então a inclinação de
é
.
Vamos chamar a reta perpendicular de
, que tem a equação
. Como
é perpendicular a
, temos:
Parte (a) Continuação: Passando pela origem
Sabemos que a reta
passa pela origem, ou seja, o ponto
está na reta. Substituindo na equação:
Passo 3
Parte (b): Verificando a mesma região
A reta
divide o plano em duas regiões: acima e abaixo dela. Para saber em qual região o ponto
está, substituímos as coordenadas na inequação da reta.
Substituindo
na equação
:
Isso significa que o ponto
está acima da reta
. Agora, vamos verificar os outros pontos:
-
Ponto A = (100, 102):
-
Ponto B = (0, 0):
-
Ponto C = (-10, -10):
-
Ponto D = (
, 0):
Resposta
(a) Os valores são
e
.
(b) Os pontos que estão na mesma região que o ponto
são
e
.