Considere a reta r com equação y=2 x-1 no plano cartesiano R^2.
(a) Sabendo que a reta s tem equação y=m x+n no plano cartesiano R^2, é perpendicular a r e passa pela origem, determine m e n.
(b) A reta r divide o plano cartesiano R^2 em duas regiões. Considere o ponto P=(1,2). Quais dos seguintes pontos se encontram na mesma região que o ponto P :
A=(100,102), B=(0,0), C=(-10,-10) e D=(pi, 0) ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos duas partes nesse exercício sobre retas no plano cartesiano. Na parte (a), precisamos encontrar os coeficientes e da equação de uma reta perpendicular a outra reta dada e que passa pela origem. Na parte (b), vamos verificar quais pontos estão na mesma região que um ponto específico em relação a uma reta que divide o plano. Para resolver isso, vamos usar conceitos de inclinação de retas e posições relativas no plano.

Passo 2

Parte (a): Encontrando m times 2 = -1 implies m = -12 e 0 = m times 0 + n implies n = 0
Primeiro, vamos lembrar que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações (coeficientes angulares) for . A reta tem a equação , então a inclinação de é .
Vamos chamar a reta perpendicular de , que tem a equação . Como é perpendicular a , temos:
Parte (a) Continuação: Passando pela origem
Sabemos que a reta passa pela origem, ou seja, o ponto está na reta. Substituindo na equação:

Passo 3

Parte (b): Verificando a mesma região
A reta 2 > 2 times 1 - 1 implies 2 > 1 divide o plano em duas regiões: acima e abaixo dela. Para saber em qual região o ponto 102 > 2 times 100 - 1 implies 102 > 199 (Falso) está, substituímos as coordenadas na inequação da reta.
Substituindo 0 > 2 times 0 - 1 implies 0 > -1 (Verdadeiro) na equação -10 > 2 times (-10) - 1 implies -10 > -21 (Verdadeiro) :
0 > 2 times pi - 1 implies 0 > 5.283 (Falso)
Isso significa que o ponto está acima da reta . Agora, vamos verificar os outros pontos:
  • Ponto A = (100, 102):
  • Ponto B = (0, 0):
  • Ponto C = (-10, -10):
  • Ponto D = ( , 0):

Resposta

(a) Os valores são e .
(b) Os pontos que estão na mesma região que o ponto são e .

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