Sejam P=(1,0,-1) e pi: 2 x-y+2 z=0.
(a) Determine o ponto P^prime simétrico ao ponto P em relação a pi;
(b) Determine a distância de P a pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica. Temos um ponto e um plano . O que precisamos fazer é:
(a) Encontrar o ponto que é simétrico a em relação ao plano .
(b) Calcular a distância do ponto até o plano .
Para resolver isso, vamos usar fórmulas de simetria em relação a um plano e a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o ponto simétrico em relação a um plano. Imagine que o plano é um espelho. O ponto é como o reflexo de nesse espelho. Para encontrar , precisamos refletir em .

Passo 3

Para refletir um ponto em relação a um plano, usamos a seguinte fórmula:
P' = P - 2 cdot n cdot OP + d ||n||^2 n
Onde:
  • é o vetor normal ao plano.
  • é o termo constante da equação do plano.
  • é o vetor posição do ponto .
  • é o comprimento do vetor normal.
No nosso caso, a equação do plano é , então:
  • (já que o lado direito da equação é zero)

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar OP = (1, 0, -1) :
n cdot OP = 2 cdot 1 + (-1) cdot 0 + 2 cdot (-1) = 2 + 0 - 2 = 0

Passo 5

Agora, aplicando na fórmula de P' = P - 2 cdot 0 + 02^2 + (-1)^2 + 2^2 cdot (2, -1, 2) :
P' = P - 0 cdot (2, -1, 2) = P
Mas isso não faz sentido, pois o ponto simétrico seria igual apenas se o ponto estivesse no próprio plano. Vamos refazer usando outra abordagem.

Passo 6

Uma forma mais direta de encontrar o ponto simétrico é usar:
P' = P - 2 cdot Ax + By + Cz + DA^2 + B^2 + C^2 cdot (A, B, C)
Onde a equação do plano é P' = (1, 0, -1) - 2 cdot 2(1) + (-1)(0) + 2(-1) + 02^2 + (-1)^2 + 2^2 cdot (2, -1, 2) . No nosso caso:
  • P' = (1, 0, -1) - 2 cdot 2 + 0 - 24 + 1 + 4 cdot (2, -1, 2) , P' = (1, 0, -1) - 2 cdot 09 cdot (2, -1, 2) , P' = (1, 0, -1) - (0, 0, 0) = (1, 0, -1) ,
Vamos calcular:
Isso indica que o ponto está no próprio plano , então seu simétrico é ele mesmo.

Passo 7

Para confirmar se 2(1) - (0) + 2(-1) = 2 + 0 - 2 = 0 está no plano, substituímos suas coordenadas na equação do plano:
Como o resultado é igual a zero, o ponto realmente está no plano.

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b): calcular a distância do ponto d = |Ax + By + Cz + D|raizA^2 + B^2 + C^2 até o plano d = |2(1) - 1(0) + 2(-1) + 0|raiz2^2 + (-1)^2 + 2^2 = |2 + 0 - 2|raiz4 + 1 + 4 = 03 = 0 . A fórmula para a distância é:
Substituindo os valores:

Resposta

(a) O ponto simétrico a em relação ao plano é .
(b) A distância de até o plano é .

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