Sejam
e
.
(a) Determine o ponto
simétrico ao ponto
em relação a
;
(b) Determine a distância de
.
(a) Determine o ponto
(b) Determine a distância de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica. Temos um ponto
e um plano
. O que precisamos fazer é:
(a) Encontrar o ponto
que é simétrico a
em relação ao plano
.
(b) Calcular a distância do ponto
até o plano
.
Para resolver isso, vamos usar fórmulas de simetria em relação a um plano e a fórmula da distância de um ponto a um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o ponto simétrico em relação a um plano. Imagine que o plano
é um espelho. O ponto
é como o reflexo de
nesse espelho. Para encontrar
, precisamos refletir
em
.
Passo 3
Para refletir um ponto em relação a um plano, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
-
é o vetor normal ao plano. -
é o termo constante da equação do plano. -
é o vetor posição do ponto . -
é o comprimento do vetor normal.
No nosso caso, a equação do plano é
, então:
-
-
(já que o lado direito da equação é zero)
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 5
Agora, aplicando na fórmula de
:
Mas isso não faz sentido, pois o ponto simétrico seria igual apenas se o ponto estivesse no próprio plano. Vamos refazer usando outra abordagem.
Passo 6
Uma forma mais direta de encontrar o ponto simétrico é usar:
Onde a equação do plano é
. No nosso caso:
-
, , ,
Vamos calcular:
Isso indica que o ponto
está no próprio plano
, então seu simétrico é ele mesmo.
Passo 7
Para confirmar se
está no plano, substituímos suas coordenadas na equação do plano:
Como o resultado é igual a zero, o ponto realmente está no plano.
Passo 8
Agora, vamos para a parte (b): calcular a distância do ponto
até o plano
. A fórmula para a distância
é:
Substituindo os valores:
Resposta
(a) O ponto
simétrico a
em relação ao plano
é
.
(b) A distância de
até o plano
é
.