Considere os planos dados por
pi1: x+5 y-2 z-3=0
e
pi2: x+2 y+z=0
Calcule a distância entre o plano pi2 e o ponto P0=(1,0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois planos no espaço:
pi1: x + 5y - 2z - 3 = 0
e
pi2: x + 2y + z = 0
E queremos calcular a distância entre o plano pi2 e o ponto P0 = (1, 0, 0). Para isso, vamos usar a fórmula de distância do ponto a plano, que faz parte da geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância de um ponto P0 = (x0, y0, z0) até um plano dado pela equação Ax + By + Cz + D = 0. A fórmula é:
d = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
Isso basicamente mede o quão “longe” o ponto está do plano, considerando as direções das coordenadas.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores na equação do plano pi2:
pi2: x + 2y + z = 0
Aqui, podemos ver que:
  • A = 1
  • B = 2
  • C = 1
  • D = 0 (porque não há termo constante além de zero)
E nosso ponto P0 = (1, 0, 0) tem:
  • x0 = 1
  • y0 = 0
  • z0 = 0

Passo 4

Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
d = |1 cdot 1 + 2 cdot 0 + 1 cdot 0 + 0|raiz1^2 + 2^2 + 1^2
Calculando o numerador:
1 cdot 1 + 2 cdot 0 + 1 cdot 0 + 0 = 1
E o denominador:
raiz1 + 4 + 1 = raiz6

Passo 5

Agora, basta dividir o numerador pelo denominador:
d = 1raiz6
Se preferir, podemos racionalizar o denominador multiplicando o numerador e o denominador por raiz6:
d = raiz66
Mas ambas as formas estão corretas!

Resposta

A distância entre o ponto P0 = (1, 0, 0) e o plano pi2 é:
d = 1raiz6 ou d = raiz66

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