Sejam respectivamente as coordenadas dos pontos e do eixo . Diz-se que o ponto divide o segmento em média e extrema razão (divisão áurea) quando se tem . Supondo que divide o segmento em média e extrema razão, calcule em função de e .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos no eixo : com coordenada , com coordenada , e com coordenada , onde . A questão fala sobre a divisão áurea, que é quando o ponto divide o segmento de uma maneira especial, chamada razão áurea. Nosso objetivo é encontrar o valor de em função de e .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a divisão áurea. Dizemos que divide na razão áurea quando a razão entre a parte menor () e o segmento todo () é igual à razão entre a parte maior () e a parte menor (). Matemáticamente, isso é representado por:
Passo 3
Vamos expressar essas distâncias em termos das coordenadas. Sabemos que:
Substituindo na equação da divisão áurea, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar . Primeiro, vamos multiplicar em cruz para eliminar as frações:
Passo 5
Expandindo os termos:
Passo 6
Vamos trazer todos os termos para um lado da equação para formar uma equação quadrática:
Simplificando os termos:
Passo 7
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática :
No nosso caso:
Substituindo:
Passo 8
Vamos calcular o discriminante ():
Passo 9
Agora, retornamos à fórmula de Bhaskara:
Passo 10
Como , devemos escolher a solução que satisfaz essa condição. Geralmente, usa-se o sinal positivo para obter a divisão áurea:
Factorando :
Resposta
Portanto, a coordenada que divide o segmento na razão áurea é: