Sejam a respectivamente as coordenadas dos pontos A, X e B do eixo E. Diz-se que o ponto X divide o segmento A B em média e extrema razão (divisão áurea) quando se tem d(A, X)d(A, B)=d(X, B)d(A, X). Supondo que X divide o segmento A B em média e extrema razão, calcule x em função de a e b.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos no eixo : com coordenada , com coordenada , e com coordenada , onde . A questão fala sobre a divisão áurea, que é quando o ponto divide o segmento de uma maneira especial, chamada razão áurea. Nosso objetivo é encontrar o valor de em função de e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a divisão áurea. Dizemos que AXAB = XBAX divide na razão áurea quando a razão entre a parte menor ( ) e o segmento todo ( ) é igual à razão entre a parte maior ( ) e a parte menor ( ). Matemáticamente, isso é representado por:

Passo 3

Vamos expressar essas distâncias em termos das coordenadas. Sabemos que:
AX = x - a e AB = b - a e XB = b - x
Substituindo na equação da divisão áurea, temos:
x - ab - a = b - xx - a

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar (x - a)^2 = (b - a)(b - x) . Primeiro, vamos multiplicar em cruz para eliminar as frações:

Passo 5

Expandindo os termos:
x^2 - 2a x + a^2 = b^2 - b x - a b + a x

Passo 6

Vamos trazer todos os termos para um lado da equação para formar uma equação quadrática:
x^2 - 2a x + a^2 - b^2 + b x + a b - a x = 0
Simplificando os termos:
x^2 + (-2a + b - a)x + (a^2 - b^2 + a b) = 0
x^2 + (-3a + b)x + (a^2 - b^2 + a b) = 0

Passo 7

Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática x = -B pm raizB^2 - 4AC2A :
A = 1, B = -3a + b, C = a^2 - b^2 + a b
No nosso caso:
x = 3a - b pm raiz( -3a + b)^2 - 4 cdot 1 cdot (a^2 - b^2 + a b)2 cdot 1
Substituindo:

Passo 8

Vamos calcular o discriminante ( De):
De
De
De

Passo 9

Agora, retornamos à fórmula de Bhaskara:
x = 3a - b pm raiz5(a - b)^22
x = 3a - b pm raiz5(a - b)2

Passo 10

Como x = 3a - b + raiz5(a - b)2 , devemos escolher a solução que satisfaz essa condição. Geralmente, usa-se o sinal positivo para obter a divisão áurea:
x = (3a - b) + raiz5(a - b)2 = (3a - b) - raiz5(b - a)2
Factorando :

Resposta

Portanto, a coordenada x = 3a - b - raiz5(b - a)2 que divide o segmento na razão áurea é:

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