Sejam
respectivamente as coordenadas dos pontos
e
do eixo
. Diz-se que o ponto
divide o segmento
em média e extrema razão (divisão áurea) quando se tem
. Supondo que
divide o segmento
em média e extrema razão, calcule
em função de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos no eixo
:
com coordenada
,
com coordenada
, e
com coordenada
, onde
. A questão fala sobre a divisão áurea, que é quando o ponto
divide o segmento
de uma maneira especial, chamada razão áurea. Nosso objetivo é encontrar o valor de
em função de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a divisão áurea. Dizemos que
divide
na razão áurea quando a razão entre a parte menor (
) e o segmento todo (
) é igual à razão entre a parte maior (
) e a parte menor (
). Matemáticamente, isso é representado por:
Passo 3
Vamos expressar essas distâncias em termos das coordenadas. Sabemos que:
Substituindo na equação da divisão áurea, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, vamos multiplicar em cruz para eliminar as frações:
Passo 5
Expandindo os termos:
Passo 6
Vamos trazer todos os termos para um lado da equação para formar uma equação quadrática:
Simplificando os termos:
Passo 7
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática
:
No nosso caso:
Substituindo:
Passo 8
Vamos calcular o discriminante (
):
Passo 9
Agora, retornamos à fórmula de Bhaskara:
Passo 10
Como
, devemos escolher a solução que satisfaz essa condição. Geralmente, usa-se o sinal positivo para obter a divisão áurea:
Factorando
:
Resposta
Portanto, a coordenada
que divide o segmento
na razão áurea é: