Nas seguintes matrizes, determine se a matriz dada é invertível. Caso seja, calcule a inversa.
g. (lll1 & 1 & 1 0 & 2 & 3 5 & 5 & 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! A questão pede pra gente verificar se a matriz dada é invertível e, se for, calcular a inversa dela. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e, se for diferente de zero, usar alguns passos para encontrar a inversa.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber se a matriz é invertível. Isso depende do determinante da matriz. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível. Vamos calcular o determinante da matriz:
A = 1 & 1 & 1 0 & 2 & 3 5 & 5 & 1
Para uma matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) , o determinante é calculado assim:
Onde são os elementos da matriz .

Passo 3

Vamos identificar os elementos da nossa matriz a = 1, b = 1, c = 1 d = 0, e = 2, f = 3 g = 5, h = 5, i = 1 :
det(A) = 1(2 times 1 - 3 times 5) - 1(0 times 1 - 3 times 5) + 1(0 times 5 - 2 times 5)
Agora, substituímos esses valores na fórmula do determinante:

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. det(A) = 1(2 - 15) - 1(0 - 15) + 1(0 - 10) = 1(-13) - 1(-15) + 1(-10)
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, fazemos as operações:
-13 + 15 - 10 = -8
Então,
det(A) = -8

Passo 6

Como o determinante é diferente de zero, isso significa que a matriz é invertível.

Passo 7

Para encontrar a matriz inversa A^-1 = 1det(A) times adj(A) , usamos a fórmula:
Onde é a adjunta de , que é a transposta da matriz de cofatores de .

Passo 8

Vamos calcular a matriz de cofatores. Primeiro, encontramos os menores de cada elemento da matriz 2 & 3 5 & 1 = (2)(1) - (3)(5) = 2 - 15 = -13 . O menor de um elemento é o determinante da matriz 0 & 3 5 & 1 = (0)(1) - (3)(5) = 0 - 15 = -15 que resta quando removemos a linha e a coluna desse elemento.
Vamos calcular cada menor:
  1. Menor de 0 & 2 5 & 5 = (0)(5) - (2)(5) = 0 - 10 = -10 :
1 & 1 5 & 1 = (1)(1) - (1)(5) = 1 - 5 = -4
  1. Menor de 1 & 1 5 & 1 = (1)(1) - (1)(5) = 1 - 5 = -4 :
1 & 1 5 & 5 = (1)(5) - (1)(5) = 5 - 5 = 0
  1. Menor de 1 & 1 2 & 3 = (1)(3) - (1)(2) = 3 - 2 = 1 :
1 & 1 0 & 3 = (1)(3) - (1)(0) = 3 - 0 = 3
  1. Menor de 1 & 1 0 & 2 = (1)(2) - (1)(0) = 2 - 0 = 2 :
  1. Menor de :
  1. Menor de :
  1. Menor de :
  1. Menor de :
  1. Menor de :

Passo 9

Agora, aplicamos os sinais para obter os cofatores. A regra é Cofatores = +(-13) & -(-15) & +(-10) -(-4) & +(-4) & -0 +1 & -3 & +2 = -13 & 15 & -10 4 & -4 & 0 1 & -3 & 2 , onde e são as posições da linha e coluna.
Vamos aplicar isso:

Passo 10

Agora, encontramos a adjunta da matriz adj(A) = -13 & 4 & 1 15 & -4 & -3 -10 & 0 & 2 que é a transposta da matriz de cofatores:

Passo 11

Finalmente, calculamos a matriz inversa usando a fórmula:
A^-1 = 1det(A) times adj(A) = 1-8 times -13 & 4 & 1 15 & -4 & -3 -10 & 0 & 2 = 138 & -12 & -18 -158 & 12 & 38 108 & 0 & -28
Simplificando as frações:
A^-1 = 138 & -12 & -18 -158 & 12 & 38 54 & 0 & -14

Resposta

A matriz é invertível e a sua inversa é:
A^-1 = 138 & -12 & -18 -158 & 12 & 38 54 & 0 & -14

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