Utilize a base do item anterior (não necessariamente todos os seus vetores) para apresentar uma caracterização vetorial para o plano .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois planos no espaço tridimensional, definidos por suas equações:
O exercício solicita que usemos a base do item anterior (não necessariamente todos os vetores) para apresentar uma caracterização vetorial para o plano . Isso significa que precisamos expressar de forma vetorial, usando vetores que formam uma base para o espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma caracterização vetorial de um plano. Uma forma geral de escrever a equação vetorial de um plano é:
Onde:
é um vetor genérico no plano.
é um vetor posição de um ponto específico no plano.
e são vetores diretores que estão no plano.
e são escalares.
Passo 3
Vamos encontrar um ponto específico no plano . Para isso, escolhemos valores para duas das variáveis e resolvemos para a terceira. Por exemplo, deixemos e :
Então, um ponto no plano é . Portanto, o vetor posição é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar dois vetores diretores que estão no plano 3x + y - z + 3 = 0 Rightarrow z = 3x + y + 3 . Para isso, podemos obter esses vetores a partir das equações do plano.
A equação do plano z = 3s + t + 3 é:
r = s t 3s + t + 3 = 0 0 3 + s 1 0 3 + t 0 1 1
Podemos expressar u = 1 0 3 e v = 0 1 1 em função de e , o que nos permite parametrizar o plano. Vamos deixar e , onde e são parâmetros.
Então, a posição vetorial fica:
Portanto, os vetores diretores são:
Passo 5
Finalmente, juntando todas as partes, a caracterização vetorial do plano r = 0 0 3 + s 1 0 3 + t 0 1 1 fica:
Onde e são escalares reais.
Resposta
A caracterização vetorial do plano r = 0 0 3 + s 1 0 3 + t 0 1 1 , s, t in R é: