Considere os planos
l Pi1=(x, y, z) in R^3 ; 3 x+y-z+3=0 Pi2=(x, y, z) in R^3 ; x-y+4 z-9=0
Utilize a base do item anterior (não necessariamente todos os seus vetores) para apresentar uma caracterização vetorial para o plano Pi1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois planos no espaço tridimensional, definidos por suas equações:
Pi1 = (x, y, z) in R^3 ; 3x + y - z + 3 = 0
Pi2 = (x, y, z) in R^3 ; x - y + 4z - 9 = 0
O exercício solicita que usemos a base do item anterior (não necessariamente todos os vetores) para apresentar uma caracterização vetorial para o plano . Isso significa que precisamos expressar de forma vetorial, usando vetores que formam uma base para o espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma caracterização vetorial de um plano. Uma forma geral de escrever a equação vetorial de um plano é:
r = r0 + su + tv
Onde:
  • é um vetor genérico no plano.
  • é um vetor posição de um ponto específico no plano.
  • e são vetores diretores que estão no plano.
  • e são escalares.

Passo 3

Vamos encontrar um ponto específico no plano 3(0) + 0 - z + 3 = 0 Rightarrow -z + 3 = 0 Rightarrow z = 3 . Para isso, escolhemos valores para duas das variáveis e resolvemos para a terceira. Por exemplo, deixemos r0 = 0 0 3 e :
Então, um ponto no plano é . Portanto, o vetor posição é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar dois vetores diretores que estão no plano 3x + y - z + 3 = 0 Rightarrow z = 3x + y + 3 . Para isso, podemos obter esses vetores a partir das equações do plano.
A equação do plano z = 3s + t + 3 é:
r = s t 3s + t + 3 = 0 0 3 + s 1 0 3 + t 0 1 1
Podemos expressar u = 1 0 3 e v = 0 1 1 em função de e , o que nos permite parametrizar o plano. Vamos deixar e , onde e são parâmetros.
Então, a posição vetorial fica:
Portanto, os vetores diretores são:

Passo 5

Finalmente, juntando todas as partes, a caracterização vetorial do plano r = 0 0 3 + s 1 0 3 + t 0 1 1 fica:
Onde e são escalares reais.

Resposta

A caracterização vetorial do plano r = 0 0 3 + s 1 0 3 + t 0 1 1 , s, t in R é:

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