Determine a equação paramétrica de uma reta que é paralela ao plano e passa pelo ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação paramétrica de uma reta que é paralela ao plano e passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Vamos precisar identificar vetores diretores e entender o que significa uma reta ser paralela a um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a reta é paralela ao plano . Isso implica que o vetor diretor da reta deve estar contido no plano . Em outras palavras, o vetor diretor deve ser perpendicular ao vetor normal do plano .
Passo 3
Vamos identificar o vetor normal do plano . A equação do plano é dada por:
Podemos reescrever essa equação na forma padrão :
Assim, o vetor normal do plano é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar um vetor diretor para a reta que seja perpendicular ao vetor normal . Isso significa que o produto escalar entre e deve ser zero:
Sejam , então:
Passo 5
Temos a equação para os componentes do vetor diretor . Podemos escolher valores para dois dos componentes e resolver para o terceiro. Por exemplo, se escolhermos e , então:
Assim, um vetor diretor possível é:
Passo 6
Com o ponto e o vetor diretor , podemos escrever a equação paramétrica da reta da seguinte forma: