Considere os planos:
Determine a equação paramétrica de uma reta que é paralela ao plano e passa pelo ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação paramétrica de uma reta que é paralela ao plano e passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Vamos precisar identificar vetores diretores e entender o que significa uma reta ser paralela a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a reta é paralela ao plano . Isso implica que o vetor diretor da reta deve estar contido no plano . Em outras palavras, o vetor diretor deve ser perpendicular ao vetor normal do plano .

Passo 3

Vamos identificar o vetor normal do plano . A equação do plano é dada por:
Podemos reescrever essa equação na forma padrão :
Assim, o vetor normal do plano é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um vetor diretor para a reta que seja perpendicular ao vetor normal . Isso significa que o produto escalar entre e deve ser zero:
Sejam , então:

Passo 5

Temos a equação para os componentes do vetor diretor . Podemos escolher valores para dois dos componentes e resolver para o terceiro. Por exemplo, se escolhermos e , então:
Assim, um vetor diretor possível é:

Passo 6

Com o ponto e o vetor diretor , podemos escrever a equação paramétrica da reta da seguinte forma:
Onde é o parâmetro real.

Resposta

A equação paramétrica da reta é:
Onde é um número real.

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Considere os planos:
Estude a posição relativa entre os planos.
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Obtenha uma equação geral do plano que contém e é paralelo à .
Considere as seguintes retas:
Verifique se as retas são ortogonais ou não.