Considere os planos:
pi: x-y+2=0 alpha: x-y=z+2
Determine a equação paramétrica de uma reta g que é paralela ao plano alpha e passa pelo ponto P0=(3,2,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação paramétrica de uma reta que é paralela ao plano e passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Vamos precisar identificar vetores diretores e entender o que significa uma reta ser paralela a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a reta é paralela ao plano . Isso implica que o vetor diretor da reta deve estar contido no plano . Em outras palavras, o vetor diretor deve ser perpendicular ao vetor normal do plano .

Passo 3

Vamos identificar o vetor normal do plano x - y = z + 2 . A equação do plano x - y - z - 2 = 0 é dada por:
n = (1, -1, -1)
Podemos reescrever essa equação na forma padrão :
Assim, o vetor normal do plano é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um vetor diretor v cdot n = 0 para a reta a(1) + b(-1) + c(-1) = 0 a - b - c = 0 que seja perpendicular ao vetor normal . Isso significa que o produto escalar entre e deve ser zero:
Sejam , então:

Passo 5

Temos a equação 1 - 1 - c = 0 - c = 0 c = 0 para os componentes do vetor diretor v = (1, 1, 0) . Podemos escolher valores para dois dos componentes e resolver para o terceiro. Por exemplo, se escolhermos e , então:
Assim, um vetor diretor possível é:

Passo 6

Com o ponto x = 3 + t y = 2 + t z = 1 + 0t e o vetor diretor , podemos escrever a equação paramétrica da reta da seguinte forma:
Onde é o parâmetro real.

Resposta

A equação paramétrica da reta x = 3 + t y = 2 + t z = 1 é:
Onde é um número real.

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