Obtenha uma equação geral do plano que contém e é paralelo à .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço: a reta definida por e , e a reta definida por e . O objetivo é encontrar a equação geral de um plano que contenha a reta e que seja paralelo à reta . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre vetores diretores de retas, vetores normais de planos e como usar o produto vetorial para encontrar esses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar um ponto qualquer que pertence à reta . Como e para qualquer ponto em , podemos escolher para simplificar. Assim, temos o ponto na reta .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os vetores diretores das retas e .
Vetor diretor da reta : Como é definida por e , apenas varia livremente. Portanto, o vetor diretor é .
Vetor diretor da reta : A reta está definida por e . Podemos parametrizar , então e . O vetor diretor é .
Passo 4
Para encontrar o plano que contém e é paralelo a , precisamos de dois vetores que estejam no plano. Já temos e . O próximo passo é encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores diretores. Para isso, usamos o produto vetorial:
Calculando o determinante:
Passo 5
Com o vetor normal e o ponto no plano, podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
Onde e . Então:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por -1 para simplificar: