Considere as seguintes retas:
r:l x=0 y=-1 s:l x=2-2 y z=2
Obtenha uma equação geral do plano que contém r e é paralelo à s.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço: a reta definida por e , e a reta definida por e . O objetivo é encontrar a equação geral de um plano que contenha a reta e que seja paralelo à reta . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre vetores diretores de retas, vetores normais de planos e como usar o produto vetorial para encontrar esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto qualquer que pertence à reta . Como e para qualquer ponto em , podemos escolher para simplificar. Assim, temos o ponto na reta .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os vetores diretores das retas e .
  • Vetor diretor da reta : Como é definida por e , apenas varia livremente. Portanto, o vetor diretor é .
  • Vetor diretor da reta : A reta está definida por e . Podemos parametrizar , então e . O vetor diretor é .

Passo 4

Para encontrar o plano que contém n = vr times vs = i & j & k 0 & 0 & 1 -2 & 1 & 0 e é paralelo a n = (0 cdot 0 - 1 cdot 1)i - (0 cdot 0 - 1 cdot (-2))j + (0 cdot 1 - 0 cdot (-2))k = (-1, 2, 0) , precisamos de dois vetores que estejam no plano. Já temos e . O próximo passo é encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores diretores. Para isso, usamos o produto vetorial:
Calculando o determinante:

Passo 5

Com o vetor normal n cdot ( r - r0 ) = 0 e o ponto -1(x - 0) + 2(y - (-1)) + 0(z - 0) = 0 no plano, podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
- x + 2(y + 1) = 0 - x + 2y + 2 = 0 x - 2y - 2 = 0
Onde x + 2y + 2 = 0 e . Então:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por -1 para simplificar:

Resposta

A equação geral do plano é .

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