Considere as seguintes retas:
Obtenha uma equação geral do plano que contém e é paralelo à .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço: a reta definida por e , e a reta definida por e . O objetivo é encontrar a equação geral de um plano que contenha a reta e que seja paralelo à reta . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre vetores diretores de retas, vetores normais de planos e como usar o produto vetorial para encontrar esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto qualquer que pertence à reta . Como e para qualquer ponto em , podemos escolher para simplificar. Assim, temos o ponto na reta .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os vetores diretores das retas e .
  • Vetor diretor da reta : Como é definida por e , apenas varia livremente. Portanto, o vetor diretor é .
  • Vetor diretor da reta : A reta está definida por e . Podemos parametrizar , então e . O vetor diretor é .

Passo 4

Para encontrar o plano que contém e é paralelo a , precisamos de dois vetores que estejam no plano. Já temos e . O próximo passo é encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores diretores. Para isso, usamos o produto vetorial:
Calculando o determinante:

Passo 5

Com o vetor normal e o ponto no plano, podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
Onde e . Então:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por -1 para simplificar:

Resposta

A equação geral do plano é .

Exercícios relacionados

Considere os planos:
Determine a equação paramétrica de uma reta que é paralela ao plano e passa pelo ponto .
Determine o volume do tetraedro onde , e .
Considere as seguintes retas:
Verifique se as retas são ortogonais ou não.
Questão (2,5 pontos). Considere as seguintes retas:
b) Obtenha uma equação geral do plano que contém e é paralelo à .