Considere os planos:
pi: x-y+2=0 alpha: x-y=z+2
Estude a posição relativa entre os planos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para analisar a posição relativa entre dois planos no espaço. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de planos e como determinar se eles são paralelos, coincidentes ou se se interceptam.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações dos planos que temos:
  • Plano π:
  • Plano α:

Passo 3

Vamos reescrever a equação do plano α para deixá-la na forma padrão x - y - z - 2 = 0 :
Agora, temos:
  • Plano π:
  • Plano α:

Passo 4

Para determinar a posição relativa entre os dois planos, precisamos comparar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano.
  • Vetor normal de π:
  • Vetor normal de α:

Passo 5

Agora, vamos verificar se os vetores normais são paralelos. Dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro. Vamos ver se existe um número nalpha = k cdot npi tal que:
Comparando os componentes:
  • (o que não é verdade)
Como não conseguimos um mesmo que satisfaça todas as componentes, os vetores normais não são paralelos.

Passo 6

Como os vetores normais dos planos não são paralelos, isso significa que os planos não são paralelos. Portanto, os planos devem se intersectar.

Passo 7

Para confirmar a interseção, podemos resolver o sistema formado pelas equações dos planos:
x - y + 2 = 0 x - y - z - 2 = 0
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(x - y - z - 2) - (x - y + 2) = -z - 4 = 0
-z - 4 = 0
z = -4
Agora, substituindo x - y + 2 = 0 na primeira equação:
x - y = -2

Passo 8

Assim, a solução do sistema indica que os dois planos se intersectam em uma reta definida por:
z = -4 x - y = -2
Podemos parametrizar essa reta, por exemplo, deixando x = t - 2 y = t z = -4 :
Portanto, a reta de interseção é , onde é um parâmetro real.

Resposta

Os planos e não são paralelos e se interceptam formando uma reta cuja equação paramétrica é , onde é um número real.

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