Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para analisar a posição relativa entre dois planos no espaço. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de planos e como determinar se eles são paralelos, coincidentes ou se se interceptam.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações dos planos que temos:
Plano π:
Plano α:
Passo 3
Vamos reescrever a equação do plano α para deixá-la na forma padrão :
Agora, temos:
Plano π:
Plano α:
Passo 4
Para determinar a posição relativa entre os dois planos, precisamos comparar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano.
Vetor normal de π:
Vetor normal de α:
Passo 5
Agora, vamos verificar se os vetores normais são paralelos. Dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro. Vamos ver se existe um número tal que:
Comparando os componentes:
→
→
→ (o que não é verdade)
Como não conseguimos um mesmo que satisfaça todas as componentes, os vetores normais não são paralelos.
Passo 6
Como os vetores normais dos planos não são paralelos, isso significa que os planos não são paralelos. Portanto, os planos devem se intersectar.
Passo 7
Para confirmar a interseção, podemos resolver o sistema formado pelas equações dos planos:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, substituindo na primeira equação:
Passo 8
Assim, a solução do sistema indica que os dois planos se intersectam em uma reta definida por:
Podemos parametrizar essa reta, por exemplo, deixando :
Portanto, a reta de interseção é , onde é um parâmetro real.
Resposta
Os planos e não são paralelos e se interceptam formando uma reta cuja equação paramétrica é , onde é um número real.