Considere as seguintes retas:
Verifique se as retas são ortogonais ou não.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se duas retas são ortogonais. Isso envolve geometria espacial e álgebra. Para resolver, vamos precisar entender as equações das retas e como determinar se elas estão em ângulo reto uma com a outra usando vetores diretores.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as equações das retas:
  • Reta r:
    Isso significa que, para qualquer valor de , os pontos na reta r têm as coordenadas .
  • Reta s:
    Aqui, é sempre 2, e podemos expressar em termos de .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor mostra a direção em que a reta se move.
  • Vetor diretor da reta r:
    Como e são constantes, a reta se move apenas na direção de . Então, o vetor diretor é:
  • Vetor diretor da reta s:
    Vamos parametrizar a reta s. Seja , então:
    Assim, o vetor diretor é:

Passo 4

Para verificar se as retas são ortogonais, precisamos calcular o produto escalar dos vetores diretores e ver se ele é igual a zero. O produto escalar é dado por:

Passo 5

Como o produto escalar é zero, isso significa que os vetores diretores são perpendiculares entre si. Portanto, as retas r e s são ortogonais.

Resposta

As retas r e s são ortogonais.

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