Determine o volume do tetraedro A B C D onde A=(1,1,1), B=(0,0,1), C=(0,-1,0) e D=(0,0,0).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um tetraedro ABCD com os vértices nas coordenadas A=(1,1,1), B=(0,0,1), C=(0,-1,0) e D=(0,0,0). Nosso objetivo é determinar o volume desse tetraedro. Para isso, vamos utilizar o conceito de volume de um tetraedro no espaço tridimensional, que envolve vetores e determinantes.

Passo 2

Vamos começar definindo vetores que partem de um dos vértices até os outros. Vamos escolher o vértice D como ponto de referência. Então, definimos os vetores:
  • DA = A - D = (1-0, 1-0, 1-0) = (1, 1, 1)
  • DB = B - D = (0-0, 0-0, 1-0) = (0, 0, 1)
  • DC = C - D = (0-0, -1-0, 0-0) = (0, -1, 0)

Passo 3

Para encontrar o volume do tetraedro, usamos a fórmula que envolve o determinante dos vetores formados:
V = 16 | DA cdot (DB times DC) |
Aqui, DB times DC representa o produto vetorial de DB e DC, e depois fazemos o produto escalar com DA.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial DB times DC:
DB = (0, 0, 1) DC = (0, -1, 0) DB times DC = i & j & k 0 & 0 & 1 0 & -1 & 0 = (i(0 cdot 0 - 1 cdot (-1)) - j(0 cdot 0 - 1 cdot 0) + k(0 cdot (-1) - 0 cdot 0)) = (i(1) - j(0) + k(0)) = (1, 0, 0)

Passo 5

Agora, realizamos o produto escalar de DA com o resultado que obtivemos:
DA cdot (DB times DC) = (1, 1, 1) cdot (1, 0, 0) = (1 times 1) + (1 times 0) + (1 times 0) = 1 + 0 + 0 = 1

Passo 6

Finalmente, aplicamos a fórmula do volume:
V = 16 | 1 | = 16

Resposta

O volume do tetraedro ABCD é 16 unidades cúbicas.

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