Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um tetraedro com os vértices nas coordenadas , , e . Nosso objetivo é determinar o volume desse tetraedro. Para isso, vamos utilizar o conceito de volume de um tetraedro no espaço tridimensional, que envolve vetores e determinantes.
Passo 2
Vamos começar definindo vetores que partem de um dos vértices até os outros. Vamos escolher o vértice como ponto de referência. Então, definimos os vetores:
Passo 3
Para encontrar o volume do tetraedro, usamos a fórmula que envolve o determinante dos vetores formados:
Aqui, DB times DC representa o produto vetorial de DB e DC, e depois fazemos o produto escalar com DA.
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial DB times DC:
DB = (0, 0, 1) DC = (0, -1, 0) DB times DC = i & j & k 0 & 0 & 1 0 & -1 & 0 = (i(0 cdot 0 - 1 cdot (-1)) - j(0 cdot 0 - 1 cdot 0) + k(0 cdot (-1) - 0 cdot 0)) = (i(1) - j(0) + k(0)) = (1, 0, 0)
Passo 5
Agora, realizamos o produto escalar de DA com o resultado que obtivemos:
DA cdot (DB times DC) = (1, 1, 1) cdot (1, 0, 0) = (1 times 1) + (1 times 0) + (1 times 0) = 1 + 0 + 0 = 1