Considere os planos:
& pi1: l x=1+lambda y=mu-2 lambda z=-2+2 mu-lambda com mu, lambda in R, & e^pi2:(x, y, z)=(2-lambda,-lambda+mu,-2 mu) com mu, lambda in R & pi3: 2 x-2 y-z=4
(a) Determine a posição relativa entre os planos pi1, pi2 e pi3.
(b) Quais pontos pertencem a interseção pi1 cap pi2 cap pi3 :
A=(0, 14,-92), B=(4,1,-10), C=(-1, 12,-7), D=(1,0,-2).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três planos:
  • π₁ e π₂ estão escritos na forma paramétrica, ou seja, com parâmetros λ e μ.
  • π₃ está na forma cartesiana, mostrando uma equação em termos de x, y e z.
O conteúdo que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente trabalhando com planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar a posição relativa entre planos (se são paralelos, coincidentes ou se se interceptam) e como encontrar pontos que pertencem à interseção desses planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor cada um dos planos.
Para π₁, as equações paramétricas são:
x = 1 + lambda y = mu - 2lambda z = -2 + 2mu - lambda
Isso significa que qualquer ponto no plano π₁ pode ser encontrado variando os valores de λ e μ.
Para π₂, temos:
(x, y, z) = (2 - lambda, -lambda + mu, -2mu) com mu, lambda in R
E para π₃, a equação é direta:
2x - 2y - z = 4

Passo 3

Vamos determinar os vetores diretores de π₁ e π₂ para entender se eles são paralelos ou não.
Para π₁, podemos ver que os vetores diretores são:
v1 = (1, -2, -1) (associado a lambda) v2 = (0, 1, 2) (associado a mu)
Para π₂, os vetores diretores são:
v3 = (-1, -1, 0) (associado a lambda) v4 = (0, 1, -2) (associado a mu)

Passo 4

Agora, vamos verificar se os planos π₁ e π₂ são paralelos. Dois planos são paralelos se seus vetores normais são múltiplos entre si.
Vamos encontrar o vetor normal de cada plano usando o produto vetorial dos vetores diretores.
Para π₁:
n1 = v1 times v2 = i & j & k 1 & -2 & -1 0 & 1 & 2 = (-2)(2) - (-1)(1) ,i - [1(2) - (-1)(0)] ,j + [1(1) - (-2)(0)] ,k = (-4 + 1)i - (2 - 0)j + (1 - 0)k = (-3, -2, 1)
Para π₂:
n2 = v3 times v4 = i & j & k -1 & -1 & 0 0 & 1 & -2 = (-1)(-2) - (0)(1) ,i - [(-1)(-2) - (0)(0)] ,j + [(-1)(1) - (-1)(0)] ,k = (2 - 0)i - (2 - 0)j + (-1 - 0)k = (2, -2, -1)

Passo 5

Vamos comparar os vetores normais n₁ = (-3, -2, 1) e n₂ = (2, -2, -1).
Para serem múltiplos, deve existir um escalar k tal que:
(2, -2, -1) = k(-3, -2, 1)
Isso implica:
2 = -3k -2 = -2k -1 = k
Resolvendo:
k = -23 (da primeira equação) k = 1 (da segunda equação) k = -1 (da terceira equação) çãçãçã
Como não há um único valor de k que satisfaça todas as três equações, os vetores normais não são múltiplos. Portanto, π₁ e π₂ não são paralelos e se interceptam ao longo de uma reta.

Passo 6

Agora, vamos verificar a posição do plano π₃ em relação a π₁ e π₂.
Primeiro, precisamos encontrar os vetores normais.
Já temos o normal de π₁: n₁ = (-3, -2, 1).
Para π₂, o normal é n₂ = (2, -2, -1).
Para π₃, a equação é 2x - 2y - z = 4, então o vetor normal é n₃ = (2, -2, -1).
Comparando n₂ e n₃, vemos que n₂ = n₃. Isso significa que os planos π₂ e π₃ são paralelos ou coincidentes.
Para verificar se são coincidentes, precisamos ver se um ponto de π₂ satisfaz a equação de π₃.
Vamos usar o ponto quando λ = 0 e μ = 0 em π₂:
(x, y, z) = (2, 0, 0)
Substituindo na equação de π₃:
2(2) - 2(0) - 0 = 4 4 = 4
Como o ponto satisfaz a equação, os planos π₂ e π₃ coincidem.

Passo 7

Resumindo a posição relativa:
  • π₁ e π₂ se interceptam ao longo de uma reta, já que não são paralelos.
  • π₂ e π₃ são coincidentes, ou seja, são o mesmo plano.
  • π₁ e π₃ (que é igual a π₂) se interceptam ao longo da mesma reta que π₁ e π₂.

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b), onde temos que identificar quais pontos estão na interseção dos três planos, ou seja, em π₁ ∩ π₂ ∩ π₃.
Os pontos dados são:
A = (0, 14, -92), B = (4, 1, -10), C = (-1, 12, -7), D = (1, 0, -2)
Como π₂ e π₃ são o mesmo plano, basta verificar quais desses pontos estão em π₁ e em π₃.
Vamos verificar cada ponto:
Ponto A: (0, 1/4, -9/2)
Substituindo na equação de π₃:
2(0) - 2(14) - (-92) = 0 - 12 + 92 = 82 = 4 (satisfaz)
Agora, checar em π₁:
Usando as equações paramétricas de π₁, precisamos encontrar λ e μ tal que:
1 + lambda = 0 Rightarrow lambda = -1 mu - 2(-1) = mu + 2 = 14 Rightarrow mu = 14 - 2 = -74 -2 + 2(-74) - (-1) = -2 - 144 + 1 = -2 - 3.5 + 1 = -4.5 neq -92 = -4.5 (satisfaz)
Então, o ponto A está na interseção.
Ponto B: (4, 1, -10)
Na equação de π₃:
2(4) - 2(1) - (-10) = 8 - 2 + 10 = 16 neq 4 (não satisfaz) ã
Então, o ponto B não está na interseção.
Ponto C: (-1, 1/2, -7)
Na equação de π₃:
2(-1) - 2(12) - (-7) = -2 -1 +7 = 4 (satisfaz)
Agora, checar em π₁:
1 + lambda = -1 Rightarrow lambda = -2 mu - 2(-2) = mu + 4 = 12 Rightarrow mu = 12 - 4 = -72 -2 + 2(-72) - (-2) = -2 -7 +2 = -7 (satisfaz)
Então, o ponto C está na interseção.
Ponto D: (1, 0, -2)
Na equação de π₃:
2(1) - 2(0) - (-2) = 2 - 0 +2 = 4 (satisfaz)
Agora, checar em π₁:
1 + lambda = 1 Rightarrow lambda = 0 mu - 2(0) = mu = 0 -2 + 2(0) - 0 = -2 (satisfaz)
Então, o ponto D está na interseção.

Resposta

Os pontos que pertencem à interseção são , e .

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