(a) Determine a posição relativa entre os planos pi1, pi2 e pi3.
(b) Quais pontos pertencem a interseção pi1 cap pi2 cap pi3 : A=(0, 14,-92), B=(4,1,-10), C=(-1, 12,-7), D=(1,0,-2).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três planos:
π₁ e π₂ estão escritos na forma paramétrica, ou seja, com parâmetros λ e μ.
π₃ está na forma cartesiana, mostrando uma equação em termos de x, y e z.
O conteúdo que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente trabalhando com planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar a posição relativa entre planos (se são paralelos, coincidentes ou se se interceptam) e como encontrar pontos que pertencem à interseção desses planos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor cada um dos planos.
Para π₁, as equações paramétricas são:
x = 1 + lambda y = mu - 2lambda z = -2 + 2mu - lambda
Isso significa que qualquer ponto no plano π₁ pode ser encontrado variando os valores de λ e μ.
Para π₂, temos:
(x, y, z) = (2 - lambda, -lambda + mu, -2mu) com mu, lambda in R
E para π₃, a equação é direta:
2x - 2y - z = 4
Passo 3
Vamos determinar os vetores diretores de π₁ e π₂ para entender se eles são paralelos ou não.
Para π₁, podemos ver que os vetores diretores são:
v1 = (1, -2, -1) (associado a lambda) v2 = (0, 1, 2) (associado a mu)
Para π₂, os vetores diretores são:
v3 = (-1, -1, 0) (associado a lambda) v4 = (0, 1, -2) (associado a mu)
Passo 4
Agora, vamos verificar se os planos π₁ e π₂ são paralelos. Dois planos são paralelos se seus vetores normais são múltiplos entre si.
Vamos encontrar o vetor normal de cada plano usando o produto vetorial dos vetores diretores.
Vamos comparar os vetores normais n₁ = (-3, -2, 1) e n₂ = (2, -2, -1).
Para serem múltiplos, deve existir um escalar k tal que:
(2, -2, -1) = k(-3, -2, 1)
Isso implica:
2 = -3k -2 = -2k -1 = k
Resolvendo:
k = -23 (da primeira equação) k = 1 (da segunda equação) k = -1 (da terceira equação) çãçãçã
Como não há um único valor de k que satisfaça todas as três equações, os vetores normais não são múltiplos. Portanto, π₁ e π₂ não são paralelos e se interceptam ao longo de uma reta.
Passo 6
Agora, vamos verificar a posição do plano π₃ em relação a π₁ e π₂.
Primeiro, precisamos encontrar os vetores normais.
Já temos o normal de π₁: n₁ = (-3, -2, 1).
Para π₂, o normal é n₂ = (2, -2, -1).
Para π₃, a equação é 2x - 2y - z = 4, então o vetor normal é n₃ = (2, -2, -1).
Comparando n₂ e n₃, vemos que n₂ = n₃. Isso significa que os planos π₂ e π₃ são paralelos ou coincidentes.
Para verificar se são coincidentes, precisamos ver se um ponto de π₂ satisfaz a equação de π₃.
Vamos usar o ponto quando λ = 0 e μ = 0 em π₂:
(x, y, z) = (2, 0, 0)
Substituindo na equação de π₃:
2(2) - 2(0) - 0 = 4 4 = 4
Como o ponto satisfaz a equação, os planos π₂ e π₃ coincidem.
Passo 7
Resumindo a posição relativa:
π₁ e π₂ se interceptam ao longo de uma reta, já que não são paralelos.
π₂ e π₃ são coincidentes, ou seja, são o mesmo plano.
π₁ e π₃ (que é igual a π₂) se interceptam ao longo da mesma reta que π₁ e π₂.
Passo 8
Agora, vamos para a parte (b), onde temos que identificar quais pontos estão na interseção dos três planos, ou seja, em π₁ ∩ π₂ ∩ π₃.
Os pontos dados são:
A = (0, 14, -92), B = (4, 1, -10), C = (-1, 12, -7), D = (1, 0, -2)
Como π₂ e π₃ são o mesmo plano, basta verificar quais desses pontos estão em π₁ e em π₃.