A reta r:=(x,y,z)=(t,1-t,2) é paralela a um dos planos dados pelas equações x+y=2 e z=0.
Determine uma condição para o valor de t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta definida por e queremos descobrir uma condição para o valor de para que essa reta seja paralela a um dos planos dados pelas equações e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como identificar se uma reta é paralela a um plano. Para isso, precisamos das direções da reta e do plano. A reta tem uma direção que podemos obter observando os coeficientes de nas equações paramétricas: .

Passo 3

Agora, vamos analisar os planos. Cada plano tem um vetor normal, que é perpendicular ao plano. Para o plano , o vetor normal é . Para o plano , o vetor normal é .

Passo 4

Uma reta é paralela a um plano se o vetor direção da reta for perpendicular ao vetor normal do plano. Isso significa que o produto escalar entre e deve ser igual a zero.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar para cada plano:
Para o plano d cdot n1 = (1)(1) + (-1)(1) + (0)(0) = 1 - 1 + 0 = 0 :
d cdot n2 = (1)(0) + (-1)(0) + (0)(1) = 0 + 0 + 0 = 0
Como o produto escalar é zero, a reta é paralela ao plano para qualquer valor de .
Para o plano :
Também aqui, o produto escalar é zero, o que significa que a reta é paralela ao plano para qualquer valor de .

Resposta

A reta é paralela a ambos os planos e para qualquer valor de .

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