Considere a reta , e o plano .
(a) Qual a posição relativa entre a reta e o plano (paralelos e não contem , paralelos contem ou concorrentes)?
(b) ponto está mais próximo de ou de ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma reta com a equação paramétrica e um plano dado por . Nosso objetivo é, na parte (a), descobrir como a reta e o plano se relacionam (se são paralelos, se a reta está dentro do plano ou se eles se cortam). Na parte (b), vamos ver se o ponto está mais próximo do plano ou da reta . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica como posição relativa entre reta e plano, e fórmulas de distância ponto-plano e ponto-reta.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a). Primeiro, precisamos descobrir se a reta está contida no plano , se são paralelos ou se se encontram em algum ponto. Para isso, vamos verificar se os vetores diretores da reta estão paralelos ao plano e se algum ponto da reta satisfaz a equação do plano.
Passo 3
O vetor diretor da reta é . O plano tem a equação , o que nos dá o vetor normal . Se o vetor diretor da reta for perpendicular ao vetor normal do plano, isso indica que a reta �� paralela ao plano. Vamos calcular o produto escalar :
Como o produto escalar não é zero (), os vetores não são perpendiculares, o que significa que a reta não é paralela ao plano e, portanto, eles são concorrentes.
Passo 4
Para confirmar que a reta e o plano se cortam em um ponto, vamos encontrar o valor de que faz com que o ponto da reta satisfaça a equação do plano. Substituindo , e na equação do plano:
Agora, substituímos nas equações da reta para encontrar o ponto de interseção:
Portanto, o ponto de interseção é .
Passo 5
Passando para a parte (b), queremos saber se o ponto está mais próximo do plano ou da reta . Vamos calcular as duas distâncias e comparar.
Primeiro, a fórmula para a distância de um ponto a um plano é:
Aplicando para o plano :
Passo 6
Agora, vamos calcular a distância da ponto à reta . A fórmula para a distância de um ponto a uma reta definida por um ponto e vetor diretor é:
Escolhemos (quando ) e . O vetor .
Calculando o produto vetorial :
O módulo desse vetor é:
E o módulo de é:
Portanto, a distância é:
Resposta
(a) A reta e o plano são concorrentes, ou seja, eles se cortam em um ponto específico.
(b) O ponto está mais próximo do plano do que da reta .