Considere a reta r:(x, y, z)=(1+2 t,-t,-2), t in R, e o plano pi: 3 x-z+1=0.
(a) Qual a posição relativa entre a reta r e o plano pi (paralelos e pi não contem r, paralelos e pi contem r ou concorrentes)?
(b) O ponto Q=(2,0,1) está mais próximo de pi ou de r ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma reta com a equação paramétrica e um plano dado por . Nosso objetivo é, na parte (a), descobrir como a reta e o plano se relacionam (se são paralelos, se a reta está dentro do plano ou se eles se cortam). Na parte (b), vamos ver se o ponto está mais próximo do plano ou da reta . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica como posição relativa entre reta e plano, e fórmulas de distância ponto-plano e ponto-reta.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a). Primeiro, precisamos descobrir se a reta está contida no plano , se são paralelos ou se se encontram em algum ponto. Para isso, vamos verificar se os vetores diretores da reta estão paralelos ao plano e se algum ponto da reta satisfaz a equação do plano.

Passo 3

O vetor diretor da reta d cdot n = 2 times 3 + (-1) times 0 + 0 times (-1) = 6 + 0 + 0 = 6 é . O plano tem a equação , o que nos dá o vetor normal . Se o vetor diretor da reta for perpendicular ao vetor normal do plano, isso indica que a reta �� paralela ao plano. Vamos calcular o produto escalar :
Como o produto escalar não é zero ( ), os vetores não são perpendiculares, o que significa que a reta não é paralela ao plano e, portanto, eles são concorrentes.

Passo 4

Para confirmar que a reta 3(1 + 2t) - (-2) + 1 = 0 3 + 6t + 2 + 1 = 0 6t + 6 = 0 6t = -6 t = -1 e o plano x = 1 + 2(-1) = -1 y = -(-1) = 1 z = -2 se cortam em um ponto, vamos encontrar o valor de que faz com que o ponto da reta satisfaça a equação do plano. Substituindo , e na equação do plano:
Agora, substituímos nas equações da reta para encontrar o ponto de interseção:
Portanto, o ponto de interseção é .

Passo 5

Passando para a parte (b), queremos saber se o ponto d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 está mais próximo do plano A = 3, , B = 0, , C = -1, , D = 1 dpi = |3 times 2 + 0 times 0 + (-1) times 1 + 1|raiz3^2 + 0^2 + (-1)^2 = |6 -1 +1|raiz9 + 0 +1 = 6raiz10 approx 1,897 ou da reta . Vamos calcular as duas distâncias e comparar.
Primeiro, a fórmula para a distância de um ponto a um plano é:
Aplicando para o plano :

Passo 6

Agora, vamos calcular a distância da ponto d = ||PQ times d||||d|| à reta PQ times d = i & j & k 1 & 0 & 3 2 & -1 & 0 = i(0 times 0 - 3 times (-1)) - j(1 times 0 - 3 times 2) + k(1 times (-1) - 0 times 2) = i(0 + 3) - j(0 -6) + k(-1 -0) = 3i + 6j -1k . A fórmula para a distância de um ponto ||PQ times d|| = raiz3^2 + 6^2 + (-1)^2 = raiz9 + 36 +1 = raiz46 approx 6,782 a uma reta definida por um ponto ||d|| = raiz2^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz4 +1 = raiz5 approx 2,236 e vetor diretor dr = 6,7822,236 approx 3,037 é:
Escolhemos (quando ) e . O vetor .
Calculando o produto vetorial :
O módulo desse vetor é:
E o módulo de é:
Portanto, a distância é:

Resposta

(a) A reta e o plano são concorrentes, ou seja, eles se cortam em um ponto específico.
(b) O ponto está mais próximo do plano do que da reta .

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