Considere a reta r:(x, y, z)=(1+t, t,-2), t in R, e o plano pi: 3 x-y+1=0.
(a) Qual a posição relativa entre a reta r e o plano pi (paralelos e pi não contem r, paralelos e pi contem r ou concorrentes)?
(b) Determine o ângulo entre o plano pi e a reta r?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou está na área de Geometria Analítica. Precisamos analisar a posição relativa entre uma reta e um plano , além de calcular o ângulo entre eles. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar se a reta está paralela, contida ou intersecta o plano e, para o ângulo, vamos usar conceitos de vetores e ângulos entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores importantes. A reta está dada pela equação paramétrica , onde é um parâmetro real. Podemos extrair o vetor diretor da reta, que é o vetor que aponta na direção da reta. Nesse caso, o vetor diretor é , já que os coeficientes de nas equações paramétricas são esses.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o plano dado pela equação . O vetor normal desse plano é formado pelos coeficientes de , e na equação do plano. A equação do plano não tem termo , o que implica que o coeficiente de é zero. Então, o vetor normal é .

Passo 4

Para determinar a posição relativa entre a reta e o plano, precisamos verificar se o vetor diretor da reta é paralelo ao plano ou não. Isso acontece se o vetor diretor v cdot n = (1)(3) + (1)(-1) + (0)(0) = 3 - 1 + 0 = 2 for perpendicular ao vetor normal , ou seja, o produto escalar entre e for zero.
Vamos calcular o produto escalar:
Como o produto escalar não é zero ( ), isso significa que a reta não é paralela ao plano. Portanto, a reta é concorrente com o plano , ou seja, ela intersecta o plano em um único ponto.

Passo 5

Agora, vamos calcular o ângulo entre a reta theta = 90^circ - alpha e o plano cos alpha = v cdot n|v| cdot |n| = 2raiz1^2 + 1^2 + 0^2 cdot raiz3^2 + (-1)^2 + 0^2 = 2raiz2 cdot raiz10 = 2raiz20 = 22raiz5 = 1raiz5 . Para isso, usamos a relação entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano. O ângulo alpha = arccos(1raiz5) entre a reta e o plano é complementar ao ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano. Ou seja:
theta = 90^circ - arccos(1raiz5) = arcsin(1raiz5)
onde theta approx arcsin(0.4472) approx 26.57^circ é o ângulo entre e .
Primeiro, vamos calcular usando o produto escalar:
Então,
Portanto,
Usando uma calculadora, podemos aproximar o valor de :

Resposta

(a) A reta é concorrente com o plano , ou seja, ela intersecta o plano em um único ponto.
(b) O ângulo entre a reta e o plano é aproximadamente .

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