Considere a reta
, e o plano
.
(a) Qual a posição relativa entre a reta
e o plano
(paralelos e
não contem
, paralelos
contem
ou concorrentes)?
(b) Determine o ângulo entre o plano
e a reta r?
(a) Qual a posição relativa entre a reta
(b) Determine o ângulo entre o plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou está na área de Geometria Analítica. Precisamos analisar a posição relativa entre uma reta
e um plano
, além de calcular o ângulo entre eles. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar se a reta está paralela, contida ou intersecta o plano e, para o ângulo, vamos usar conceitos de vetores e ângulos entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores importantes. A reta
está dada pela equação paramétrica
, onde
é um parâmetro real. Podemos extrair o vetor diretor da reta, que é o vetor que aponta na direção da reta. Nesse caso, o vetor diretor
é
, já que os coeficientes de
nas equações paramétricas são esses.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o plano
dado pela equação
. O vetor normal
desse plano é formado pelos coeficientes de
,
e
na equação do plano. A equação do plano não tem termo
, o que implica que o coeficiente de
é zero. Então, o vetor normal
é
.
Passo 4
Para determinar a posição relativa entre a reta e o plano, precisamos verificar se o vetor diretor da reta é paralelo ao plano ou não. Isso acontece se o vetor diretor
for perpendicular ao vetor normal
, ou seja, o produto escalar entre
e
for zero.
Vamos calcular o produto escalar:
Como o produto escalar não é zero (
), isso significa que a reta não é paralela ao plano. Portanto, a reta
é concorrente com o plano
, ou seja, ela intersecta o plano em um único ponto.
Passo 5
Agora, vamos calcular o ângulo entre a reta
e o plano
. Para isso, usamos a relação entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano. O ângulo
entre a reta e o plano é complementar ao ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano. Ou seja:
onde
é o ângulo entre
e
.
Primeiro, vamos calcular
usando o produto escalar:
Então,
Portanto,
Usando uma calculadora, podemos aproximar o valor de
:
Resposta
(a) A reta
é concorrente com o plano
, ou seja, ela intersecta o plano em um único ponto.
(b) O ângulo entre a reta
e o plano
é aproximadamente
.