Considere a reta , e o plano .
(a) Qual o ponto de interseção de e ?
(b) Quais pontos de distam unidades de medida do plano ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente tem uma reta e um plano no espaço tridimensional. O que a gente precisa fazer é achar onde essa reta intersecta o plano e depois descobrir quais pontos dessa reta estão a uma distância de unidades do plano. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de reta, equação geral de plano e fórmula de distância de ponto a plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto onde a reta intercepta o plano . A reta está dada pela equação paramétrica:
E o plano está definido pela equação:
Para achar o ponto de interseção, substituímos as coordenadas da reta na equação do plano.
Passo 3
Substituindo 3(1 + t) - t + 1 = 0 e 3 + 3t - t + 1 = 0 2t + 4 = 0 2t = -4 t = -2 na equação do plano:
Vamos resolver para :
Passo 4
Agora que temos o valor de x = 1 + (-2) = -1 y = -2 z = -2 , substituímos de volta nas equações paramétricas da reta para encontrar o ponto de interseção:
Portanto, o ponto de interseção é .
Passo 5
Agora, vamos encontrar os pontos na reta d = |Ax + By + Cz + D|raizA^2 + B^2 + C^2 que estão a uma distância de unidades do plano . Para isso, usamos a fórmula da distância de um ponto ao plano :
No nosso caso, a equação do plano pode ser escrita como , então , , , e .
Passo 6
Substituindo as coordenadas da reta nas fórmulas, temos:
Resolvendo a equação 4 + 2t = 10 ou 4 + 2t = -10 :
2t = 6 t = 3
Resolvendo cada caso:
2t = -14 t = -7
Passo 8
Agora, substituímos x = 1 + 3 = 4 y = 3 z = -2 Ponto: (4, 3, -2) e x = 1 + (-7) = -6 y = -7 z = -2 Ponto: (-6, -7, -2) nas equações paramétricas da reta para encontrar os pontos:
Para :
Para :
Resposta
(a) O ponto de interseção de e é .
(b) Os pontos de que estão a unidades do plano são e .