Considere a reta r:(x, y, z)=(1+t, t,-2), t in R, e o plano pi: 3 x-y+1=0.
(a) Qual o ponto de interseção de r e pi ?
(b) Quais pontos de r distam raiz10 unidades de medida do plano pi ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente tem uma reta e um plano no espaço tridimensional. O que a gente precisa fazer é achar onde essa reta intersecta o plano e depois descobrir quais pontos dessa reta estão a uma distância de unidades do plano. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de reta, equação geral de plano e fórmula de distância de ponto a plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto onde a reta r: x = 1 + t y = t z = -2 intercepta o plano pi: 3x - y + 1 = 0 . A reta está dada pela equação paramétrica:
E o plano está definido pela equação:
Para achar o ponto de interseção, substituímos as coordenadas da reta na equação do plano.

Passo 3

Substituindo 3(1 + t) - t + 1 = 0 e 3 + 3t - t + 1 = 0 2t + 4 = 0 2t = -4 t = -2 na equação do plano:
Vamos resolver para :

Passo 4

Agora que temos o valor de x = 1 + (-2) = -1 y = -2 z = -2 , substituímos de volta nas equações paramétricas da reta para encontrar o ponto de interseção:
Portanto, o ponto de interseção é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os pontos na reta d = |Ax + By + Cz + D|raizA^2 + B^2 + C^2 que estão a uma distância de unidades do plano . Para isso, usamos a fórmula da distância de um ponto ao plano :
No nosso caso, a equação do plano pode ser escrita como , então , , , e .

Passo 6

Substituindo as coordenadas da reta nas fórmulas, temos:
d = raiz10 = |3(1 + t) - t + 1|raiz3^2 + (-1)^2 + 0^2 raiz10 = |3 + 3t - t + 1|raiz9 + 1 + 0 raiz10 = |4 + 2t|raiz10
Multiplicando ambos os lados por 10 = |4 + 2t| :

Passo 7

Resolvendo a equação 4 + 2t = 10 ou 4 + 2t = -10 :
2t = 6 t = 3
Resolvendo cada caso:
  1. 2t = -14 t = -7

Passo 8

Agora, substituímos x = 1 + 3 = 4 y = 3 z = -2 Ponto: (4, 3, -2) e x = 1 + (-7) = -6 y = -7 z = -2 Ponto: (-6, -7, -2) nas equações paramétricas da reta para encontrar os pontos:
Para :
Para :

Resposta

(a) O ponto de interseção de e é .
(b) Os pontos de que estão a unidades do plano são e .

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