Para a parábola, determine: o parâmetro, o foco e a reta diretriz. Faça os esboços das parábolas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com parábolas, que fazem parte do estudo das seções cônicas na matemática. Nosso objetivo aqui é encontrar três coisas importantes para a parábola dada pela equação : o parâmetro, o foco e a reta diretriz. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a forma geral das equações das parábolas e como identificar essas características.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a forma padrão de uma parábola que abre para cima ou para baixo é:
Nessa equação:
  • é o vértice da parábola.
  • O parâmetro está relacionado a e indica a distância do vértice até o foco ou até a diretriz.
No nosso caso, a equação é . Notamos que não tem nem , o que significa que o vértice está na origem .

Passo 3

Agora, vamos relacionar o coeficiente com o parâmetro . A relação entre eles é dada por:
Queremos encontrar , então podemos reescrever a equação para isolá-lo:
Substituindo :
Então, o parâmetro é .

Passo 4

Com o parâmetro encontrado, podemos determinar o foco da parábola. Para parábolas que abrem para cima, o foco está acima do vértice a uma distância . A coordenada do foco é dada por:
Como o vértice é :

Passo 5

Por fim, vamos encontrar a reta diretriz. A diretriz é uma linha reta que está do outro lado do vértice em relação ao foco, também a uma distância . A equação da diretriz é:
Substituindo e :

Resposta

  • Parâmetro:
  • Foco:
  • Reta diretriz:

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(a) equidistam das retas
Para a hipérbole, determine: as assíntotas, medida do eixo transverso, medida do eixo conjugado, coordenadas dos vértices e dos focos. Faça os esboços das hipérboles.
Sejam as retas e .
(a) Determine e os pontos de intersecção de e , de com os planos coordenados e (isto é e ) respectivamente.
Considere os planos e .
(b) Seja a interseção dos planos acima. Determine o ângulo entre a reta e a reta