Para a parábola, determine: o parâmetro, o foco e a reta diretriz. Faça os esboços das parábolas.
y=10 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com parábolas, que fazem parte do estudo das seções cônicas na matemática. Nosso objetivo aqui é encontrar três coisas importantes para a parábola dada pela equação : o parâmetro, o foco e a reta diretriz. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a forma geral das equações das parábolas e como identificar essas características.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a forma padrão de uma parábola que abre para cima ou para baixo é:
y = a(x - h)^2 + k
Nessa equação:
  • é o vértice da parábola.
  • O parâmetro está relacionado a e indica a distância do vértice até o foco ou até a diretriz.
No nosso caso, a equação é . Notamos que não tem nem , o que significa que o vértice está na origem .

Passo 3

Agora, vamos relacionar o coeficiente a = 14p com o parâmetro p = 14a . A relação entre eles é dada por:
p = 14 times 10 = 140
Queremos encontrar , então podemos reescrever a equação para isolá-lo:
Substituindo :
Então, o parâmetro é .

Passo 4

Com o parâmetro Foco = (h, k + p) encontrado, podemos determinar o foco da parábola. Para parábolas que abrem para cima, o foco está acima do vértice a uma distância Foco = (0, 0 + 140) = (0, 140) . A coordenada do foco é dada por:
Como o vértice é :

Passo 5

Por fim, vamos encontrar a reta diretriz. A diretriz é uma linha reta que está do outro lado do vértice em relação ao foco, também a uma distância y = k - p . A equação da diretriz é:
y = 0 - 140 = -140
Substituindo e :

Resposta

  • Parâmetro:
  • Foco:
  • Reta diretriz:

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