Considere os planos pi1: 3 x-y+z-4=0 e pi2: x+y-z+2=0.
(i) Mostre que pi1 e pi2 são concorrentes.

Passo 1

Beleza, então a gente tem dois planos dados pelas equações e . O objetivo aqui é mostrar que esses dois planos são concorrentes, ou seja, que eles se cruzam formando uma reta. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a interseção de planos no espaço. Vamos resolver o sistema de equações formado por e para encontrar a reta de interseção.

Passo 2

Primeiro, a gente resolve o sistema de equações para encontrar os valores de (3x - y + z - 4) + (x + y - z + 2) = 0 + 0 , 4x - 2 = 0 implies x = 24 = 12 e que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo. Vamos usar o método da soma para eliminar uma das variáveis. Se somarmos e :
Simplificando:
Então, descobrimos que .

Passo 3

Agora que temos 12 + y - z + 2 = 0 implies y - z + 52 = 0 implies y = z - 52 , vamos substituir esse valor em uma das equações para encontrar x = 12 y = t - 52 z = t e . Vamos usar :
Podemos escolher como parâmetro . Assim:
Isso representa a equação paramétrica da reta de interseção dos dois planos.

Resposta

Os planos e se interceptam ao longo da reta definida por , e , provando que são planos concorrentes.

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