Considere os planos e .
(i) Mostre que e são concorrentes.

Passo 1

Beleza, então a gente tem dois planos dados pelas equações e . O objetivo aqui é mostrar que esses dois planos são concorrentes, ou seja, que eles se cruzam formando uma reta. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a interseção de planos no espaço. Vamos resolver o sistema de equações formado por e para encontrar a reta de interseção.

Passo 2

Primeiro, a gente resolve o sistema de equações para encontrar os valores de , e que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo. Vamos usar o método da soma para eliminar uma das variáveis. Se somarmos e :
Simplificando:
Então, descobrimos que .

Passo 3

Agora que temos , vamos substituir esse valor em uma das equações para encontrar e . Vamos usar :
Podemos escolher como parâmetro . Assim:
Isso representa a equação paramétrica da reta de interseção dos dois planos.

Resposta

Os planos e se interceptam ao longo da reta definida por , e , provando que são planos concorrentes.

Exercícios relacionados

Dada a elipse , esboce seu gráfico e determine:
(a) o comprimento do semieixo maior
(a) as coordenadas dos focos
(b) o comprimento do semieixo menor
(d) as coordenadas dos vértices
Dê uma equação geral do plano que contém a origem e é perpendicular à reta que passa pelos pontos e .
Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(i) Se uma reta é paralela a um plano, ela nunca intercepta o plano.
Determine os pontos em que a reta intercepta a elipse 20. Esboce ambos os gráficos no mesmo sistema de coordenadas e assinale os pontos de interseção.