Considere os planos:
& pi1: x+y+z=0 & pi2: x-y+2 z=1 & pi3: 3 x-y+5 z=0
(a) Determine pi1 cap pi2 cap pi3;
(b) Determine a posição relativa entre pi1, pi2 e pi3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve três planos no espaço tridimensional. A gente vai precisar usar um pouco de álgebra linear, especialmente sistemas de equações lineares, para encontrar onde esses três planos se encontram (se é que se encontram). Além disso, vamos ver como esses planos se posicionam uns em relação aos outros.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as equações dos três planos:
& pi1: x + y + z = 0 & pi2: x - y + 2z = 1 & pi3: 3x - y + 5z = 0
Queremos encontrar o ponto que está na interseção dos três planos, ou seja, resolver o sistema de equações formado por essas três equações.

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações usando o método da substituição ou da combinação linear. Vou optar por eliminar uma variável de duas equações para simplificar. Vamos eliminar o .
Primeiro, temos:
  1.  (Equação 1)
  2.  (Equação 2)
  3.  (Equação 3)
Vamos somar a Equação 1 com a Equação 2 para eliminar o :
Isso dá:
 (Equação 4)

Passo 4

Agora, vamos eliminar o entre a Equação 1 e a Equação 3. Subtraímos a Equação 1 da Equação 3:
Isso dá:
Simplificando dividindo por 2:
 (Equação 5)

Passo 5

Agora temos duas equações com duas incógnitas:
  1.  (Equação 4)
  2.  (Equação 5)
Mas ainda falta uma relação com . Vamos usar a Equação 1 para expressar em função de e :
 (Equação 6)

Passo 6

Vamos agora resolver a Equação 4 para uma das variáveis. Vou resolver para :
 (Equação 7)

Passo 7

Agora, vamos substituir o valor de da Equação 7 na Equação 5 para encontrar :
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar o denominador:
Simplificando:
Então,
 (Equação 8)

Passo 8

Agora, vamos substituir da Equação 7 e da Equação 8 na Equação 6 para encontrar :
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
Simplificando:
Isso resulta em:
O que é uma contradição, ou seja, não tem solução.

Resposta

(a) O sistema de equações não possui solução, ou seja, os três planos não se interceptam em nenhum ponto.
(b) Os três planos são paralelos ou não têm um ponto comum de interseção, indicando que estão em posições relativas sem um ponto de interseção comum.

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