Considere os planos : x y+3 z=1, beta: 2 x 3 y z=2.
Calcule o angulo entre os planos e beta.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois planos no espaço:
  • Plano α:
  • Plano β:
O conteúdo que vamos usar aqui é Geometria Espacial, especificamente ângulo entre planos. Para resolver isso, precisamos saber sobre vetores normais aos planos e como calcular o ângulo entre eles usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. A equação geral de um plano é , e o vetor normal é .
  • Para o plano α: , o vetor normal é .
  • Para o plano β: , o vetor normal é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar entre os vetores normais nα cdot nβ = Aα cdot Aβ + Bα cdot Bβ + Cα cdot Cβ e nα cdot nβ = (1)(2) + (1)(3) + (3)(1) = 2 + 3 + 3 = 8 . O produto escalar é dado por:
Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos agora calcular as normas (ou magnitudes) dos vetores | n | = raizA^2 + B^2 + C^2 e | nα | = raiz1^2 + 1^2 + 3^2 = raiz1 + 1 + 9 = raiz11 . A norma de um vetor | nβ | = raiz2^2 + 3^2 + 1^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14 é:
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo entre os dois vetores:
cos theta = nα cdot nβ | nα | cdot | nβ |
Substituindo os valores que calculamos:
cos theta = 8raiz11 cdot raiz14 = 8raiz154 approx 812,4097 approx 0,6448

Passo 6

Para encontrar o ângulo theta = arccos(0,6448) approx 50,37^circ , tiramos o arco cosseno:

Resposta

O ângulo entre os planos α e β é aproximadamente 50,37 graus.

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