Considere os planos .
Calcule o angulo entre os planos e .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois planos no espaço:
  • Plano α:
  • Plano β:
O conteúdo que vamos usar aqui é Geometria Espacial, especificamente ângulo entre planos. Para resolver isso, precisamos saber sobre vetores normais aos planos e como calcular o ângulo entre eles usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. A equação geral de um plano é , e o vetor normal é .
  • Para o plano α: , o vetor normal é .
  • Para o plano β: , o vetor normal é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar entre os vetores normais e . O produto escalar é dado por:
Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos agora calcular as normas (ou magnitudes) dos vetores e . A norma de um vetor é:
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo entre os dois vetores:
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 6

Para encontrar o ângulo , tiramos o arco cosseno:

Resposta

O ângulo entre os planos α e β é aproximadamente 50,37 graus.

Exercícios relacionados

Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformaçōes lineares:
Dados os pontos e , determinar: a) o ponto , que divide o segmento na razāo ; b) o ponto , que divide o segmento ao meio.
Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços:
Considere o subespaço de que é o plano de equação .
Se , calcule e tais que .