Considere os planos
.
Calcule o angulo entre os planos e
.
Calcule o angulo entre os planos e
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois planos no espaço:
- Plano α:
- Plano β:
O conteúdo que vamos usar aqui é Geometria Espacial, especificamente ângulo entre planos. Para resolver isso, precisamos saber sobre vetores normais aos planos e como calcular o ângulo entre eles usando o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. A equação geral de um plano é
, e o vetor normal é
.
- Para o plano α:
, o vetor normal é . - Para o plano β:
, o vetor normal é .
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar entre os vetores normais
e
. O produto escalar é dado por:
Substituindo os valores:
Passo 4
Vamos agora calcular as normas (ou magnitudes) dos vetores
e
. A norma de um vetor
é:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo entre os dois vetores:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 6
Para encontrar o ângulo
, tiramos o arco cosseno:
Resposta
O ângulo entre os planos α e β é aproximadamente 50,37 graus.
Exercícios relacionados
Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformaçōes lineares:
Dados os pontos
e
, determinar: a) o ponto
, que divide o segmento
na razāo
; b) o ponto
, que divide o segmento
ao meio.
Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços:
Considere o subespaço
de
que é o plano de equação
.
Se , calcule
e
tais que
.
Se