Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformaçōes lineares: T: R^3 longrightarrow R^3, T(x, y, z)=(x+y, y, z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A tarefa é encontrar os valores próprios (valores que “não mudam” a direção de um vetor quando aplicamos a transformação) e os vetores próprios (esses vetores que mantêm a direção) da transformação linear definida por .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os valores próprios, precisamos resolver a equação , onde é o valor próprio e é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos representar a transformação A = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 como uma matriz. A transformação corresponde à matriz:

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz T - lambda I = 1 - lambda & 1 & 0 0 & 1 - lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda :

Passo 5

Calculamos o determinante dessa matriz para encontrar os valores próprios:
det(T - lambda I) = (1 - lambda) cdot (1 - lambda) cdot (1 - lambda) = (1 - lambda)^3

Passo 6

Igualamos o determinante a zero para encontrar os valores próprios:
(1 - lambda)^3 = 0 Rightarrow lambda = 1
Então, o único valor próprio é .

Passo 7

Agora, vamos encontrar os vetores próprios associados a (T - I) = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 . Precisamos resolver 0 cdot v1 + 1 cdot v2 + 0 cdot v3 = 0 0 = 0 0 = 0 :
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 8

Da primeira equação, temos v = v1 0 v3 = v1 1 0 0 + v3 0 0 1 . As outras variáveis e são livres. Portanto, os vetores próprios têm a forma:

Resposta

O único valor próprio é v1 0 v3 e os vetores próprios associados são todos os vetores da forma , onde e podem ser quaisquer números reais.

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