Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformaçōes lineares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A tarefa é encontrar os valores próprios (valores que “não mudam” a direção de um vetor quando aplicamos a transformação) e os vetores próprios (esses vetores que mantêm a direção) da transformação linear definida por .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os valores próprios, precisamos resolver a equação , onde é o valor próprio e é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos representar a transformação como uma matriz. A transformação corresponde à matriz:
Passo 4
Agora, vamos montar a matriz :
Passo 5
Calculamos o determinante dessa matriz para encontrar os valores próprios:
Passo 6
Igualamos o determinante a zero para encontrar os valores próprios:
Então, o único valor próprio é .
Passo 7
Agora, vamos encontrar os vetores próprios associados a . Precisamos resolver :
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 8
Da primeira equação, temos . As outras variáveis e são livres. Portanto, os vetores próprios têm a forma:
Resposta
O único valor próprio é e os vetores próprios associados são todos os vetores da forma , onde e podem ser quaisquer números reais.