Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformaçōes lineares:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A tarefa é encontrar os valores próprios (valores que “não mudam” a direção de um vetor quando aplicamos a transformação) e os vetores próprios (esses vetores que mantêm a direção) da transformação linear definida por .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os valores próprios, precisamos resolver a equação , onde é o valor próprio e é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos representar a transformação como uma matriz. A transformação corresponde à matriz:

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz :

Passo 5

Calculamos o determinante dessa matriz para encontrar os valores próprios:

Passo 6

Igualamos o determinante a zero para encontrar os valores próprios:
Então, o único valor próprio é .

Passo 7

Agora, vamos encontrar os vetores próprios associados a . Precisamos resolver :
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 8

Da primeira equação, temos . As outras variáveis e são livres. Portanto, os vetores próprios têm a forma:

Resposta

O único valor próprio é e os vetores próprios associados são todos os vetores da forma , onde e podem ser quaisquer números reais.

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Calcule o angulo entre os planos e .
Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços: