Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços:
U=(x, y, z) in R^3: x=e^z

Passo 1

Beleza, vamos verificar se o conjunto é um subespaço de . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar quais são as propriedades que um subespaço deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto ser um subespaço vetorial, ele precisa satisfazer três condições:
  1. Conter o vetor zero: O vetor zero deve pertencer ao conjunto.
  2. Fechamento na soma: Se dois vetores estão no conjunto, a soma deles também deve estar.
  3. Fechamento na multiplicação por escalar: Se um vetor está no conjunto, qualquer múltiplo dele também deve estar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Conter o vetor zero:
Vamos ver se o vetor zero x = e^0 = 1 está em .
Para , temos:
Então, o vetor correspondente seria . Mas o vetor zero é , e como , o vetor zero não está em .

Passo 4

2. Fechamento na soma:
Mesmo que o vetor zero não esteja, vamos verificar o fechamento na soma para entender melhor.
Considere dois vetores em u = (e^z1, y1, z1) :
v = (e^z2, y2, z2)
u + v = (e^z1 + e^z2, y1 + y2, z1 + z2)
A soma seria:
e^z1 + e^z2 = e^z1 + z2
Para que a soma esteja em , precisaríamos que:
Mas sabemos que em geral. Então, a soma de dois vetores em não necessariamente está em .

Passo 5

3. Fechamento na multiplicação por escalar:
Vamos verificar a multiplicação por um escalar c cdot u = (c cdot e^z, c cdot y, c cdot z) .
Se temos um vetor c cdot e^z = e^c cdot z em , então:
Para que isso esteja em , precisaríamos que:
Mas em geral, então a multiplicação por escalar não mantém o vetor no conjunto .

Resposta

Não, o subconjunto não é um subespaço de .

Exercícios relacionados