Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços:

Passo 1

Beleza, vamos verificar se o conjunto é um subespaço de . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar quais são as propriedades que um subespaço deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto ser um subespaço vetorial, ele precisa satisfazer três condições:
  1. Conter o vetor zero: O vetor zero deve pertencer ao conjunto.
  2. Fechamento na soma: Se dois vetores estão no conjunto, a soma deles também deve estar.
  3. Fechamento na multiplicação por escalar: Se um vetor está no conjunto, qualquer múltiplo dele também deve estar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Conter o vetor zero:
Vamos ver se o vetor zero está em .
Para , temos:
Então, o vetor correspondente seria . Mas o vetor zero é , e como , o vetor zero não está em .

Passo 4

2. Fechamento na soma:
Mesmo que o vetor zero não esteja, vamos verificar o fechamento na soma para entender melhor.
Considere dois vetores em :
A soma seria:
Para que a soma esteja em , precisaríamos que:
Mas sabemos que em geral. Então, a soma de dois vetores em não necessariamente está em .

Passo 5

3. Fechamento na multiplicação por escalar:
Vamos verificar a multiplicação por um escalar .
Se temos um vetor em , então:
Para que isso esteja em , precisaríamos que:
Mas em geral, então a multiplicação por escalar não mantém o vetor no conjunto .

Resposta

Não, o subconjunto não é um subespaço de .

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Considere os planos .
Calcule o angulo entre os planos e .
Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformaçōes lineares:
Considere o subespaço de que é o plano de equação .
Se , calcule e tais que .
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