Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços:
Passo 1
Beleza, vamos verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar quais são as propriedades que um subespaço deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto ser um subespaço vetorial, ele precisa satisfazer três condições:
- Conter o vetor zero: O vetor zero
deve pertencer ao conjunto. - Fechamento na soma: Se dois vetores estão no conjunto, a soma deles também deve estar.
- Fechamento na multiplicação por escalar: Se um vetor está no conjunto, qualquer múltiplo dele também deve estar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Conter o vetor zero:
Vamos ver se o vetor zero
está em
.
Para
, temos:
Então, o vetor correspondente seria
. Mas o vetor zero é
, e como
, o vetor zero não está em
.
Passo 4
2. Fechamento na soma:
Mesmo que o vetor zero não esteja, vamos verificar o fechamento na soma para entender melhor.
Considere dois vetores em
:
A soma seria:
Para que a soma esteja em
, precisaríamos que:
Mas sabemos que
em geral. Então, a soma de dois vetores em
não necessariamente está em
.
Passo 5
3. Fechamento na multiplicação por escalar:
Vamos verificar a multiplicação por um escalar
.
Se temos um vetor
em
, então:
Para que isso esteja em
, precisaríamos que:
Mas
em geral, então a multiplicação por escalar não mantém o vetor no conjunto
.
Resposta
Não, o subconjunto
não é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Considere os planos
.
Calcule o angulo entre os planos e .
Calcule o angulo entre os planos e
Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformaçōes lineares:
Considere o subespaço
de
que é o plano de equação
.
Se , calcule
e
tais que
.
Se
Veri que se cada uma das seguintes matrizes A é diagonalizável ou não. Quando for, determine uma matriz invertível
e determine uma matiz diagonal
tais que
.