Dados os pontos e , determinar: a) o ponto , que divide o segmento na razāo ; b) o ponto , que divide o segmento ao meio.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos no espaço: e . O conteúdo da matéria aqui é Geometria Analítica no Espaço, especialmente a parte que trata de Divisão de Segmentos. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do ponto que divide um segmento em uma determinada razão e também a fórmula do ponto médio.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a): encontrar o ponto que divide o segmento na razão . Isso significa que a distância de até está para até como 2 está para 3.
A fórmula para encontrar as coordenadas de que divide o segmento e na razão é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula para cada coordenada:
Para a coordenada :
Para a coordenada :
Para a coordenada :

Passo 4

Agora, vamos resolver a parte b): encontrar o ponto que é o ponto médio do segmento . O ponto médio tem coordenadas que são a média aritmética das coordenadas de e .
A fórmula do ponto médio é:

Passo 5

Aplicando a fórmula do ponto médio:
Para a coordenada :
Para a coordenada :
Para a coordenada :

Resposta

a) O ponto que divide o segmento na razão tem coordenadas .
b) O ponto , ponto médio do segmento , tem coordenadas .

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