Dados os pontos P1(7,-1,3) e P2(3,01-12), determinar: a) o ponto P, que divide o segmento P1 P2 na razāo 23; b) o ponto Q, que divide o segmento P1 P2 ao meio.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos no espaço: P1(7, -1, 3) e P2(3, 0, -12). O conteúdo da matéria aqui é Geometria Analítica no Espaço, especialmente a parte que trata de Divisão de Segmentos. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do ponto que divide um segmento em uma determinada razão e também a fórmula do ponto médio.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a): encontrar o ponto P que divide o segmento P1P2 na razão 23. Isso significa que a distância de P1 até P está para P até P2 como 2 está para 3.
A fórmula para encontrar as coordenadas de P(x, y, z) que divide o segmento P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2) na razão m:n é:
x = m x2 + n x1m + n, y = m y2 + n y1m + n, z = m z2 + n z1m + n
Aqui, m = 2 e n = 3.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula para cada coordenada:
Para a coordenada x:
x = 2 cdot 3 + 3 cdot 72 + 3 = 6 + 215 = 275 = 5,4
Para a coordenada y:
y = 2 cdot 0 + 3 cdot (-1)2 + 3 = 0 - 35 = -35 = -0,6
Para a coordenada z:
z = 2 cdot (-12) + 3 cdot 32 + 3 = -24 + 95 = -155 = -3

Passo 4

Agora, vamos resolver a parte b): encontrar o ponto Q que é o ponto médio do segmento P1P2. O ponto médio tem coordenadas que são a média aritmética das coordenadas de P1 e P2.
A fórmula do ponto médio Q(x, y, z) é:
x = x1 + x22, y = y1 + y22, z = z1 + z22

Passo 5

Aplicando a fórmula do ponto médio:
Para a coordenada x:
x = 7 + 32 = 102 = 5
Para a coordenada y:
y = -1 + 02 = -12 = -0,5
Para a coordenada z:
z = 3 + (-12)2 = -92 = -4,5

Resposta

a) O ponto P que divide o segmento P1P2 na razão 23 tem coordenadas (5,4, -0,6, -3).
b) O ponto Q, ponto médio do segmento P1P2, tem coordenadas (5, -0,5, -4,5).

Exercícios relacionados