Considere o subespaço W de ^3 que é o plano de equação 2 x+y 3 z=0.
Se v=(5,2,4), calcule c e c2 tais que v=c u+c2 u2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um subespaço de que é o plano definido pela equação . E a missão é encontrar os valores de e tais que o vetor possa ser escrito como uma combinação linear de dois vetores e que pertencem a . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre subespaços, planos no espaço tridimensional e combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar dois vetores 2(1) + 0 - 3z = 0 implies 2 - 3z = 0 implies z = 23 e 2(0) + 3 - 3z = 0 implies 3 - 3z = 0 implies z = 1 que estão no plano . Isso significa que eles devem satisfazer a equação . Vamos escolher valores para e e encontrar que satisfaça a equação.
Escolhendo e :
Então, um vetor que está em é .
Escolhendo e :
Então, outro vetor em é .

Passo 3

Agora que temos v = c cdot u + c2 cdot u2 e (5, 2, 4) = c (1, 0, 23) + c2 (0, 3, 1) , queremos expressar 1c + 0c2 = 5 0c + 3c2 = 2 23c + 1c2 = 4 como uma combinação linear desses vetores:
Substituindo os vetores:
Isso gera o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo.
Da primeira equação:
c = 5
Da segunda equação:
3c2 = 2 implies c2 = 23
Agora, vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
23(5) + 23 = 103 + 23 = 123 = 4
Está tudo certo!

Resposta

Os valores são e .

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