Considere os planos : x y+3 z=1, beta: 2 x 3 y z=2.
Determine a equação da reta cap beta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois planos dados pelas equações:
alpha: x - y + 3z = 1
beta: 2x - 3y + z = 2
Queremos encontrar a equação da reta que é a interseção desses dois planos. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a resolução de sistemas de equações lineares para determinar os pontos em comum aos dois planos e, assim, definir a reta resultante.

Passo 2

Para encontrar a reta de interseção, precisamos resolver o sistema de equações formado pelos dois planos. Vamos resolver esse sistema de forma a expressar duas das variáveis em termos da terceira, que chamaremos de parâmetro.
x - y + 3z = 1 (1) 2x - 3y + z = 2 (2)
Vamos escolher como parâmetro livre.

Passo 3

Substituindo x - y + 3t = 1 Rightarrow x - y = 1 - 3t (3) na equação (1):
2x - 3y + t = 2 Rightarrow 2x - 3y = 2 - t (4)
E na equação (2):

Passo 4

Agora, vamos resolver as equações (3) e (4) simultaneamente para encontrar 2x - 2y = 2 - 6t (5) e (2x - 2y) - (2x - 3y) = (2 - 6t) - (2 - t) em termos de (-2y + 3y) = (-6t + t) .
Multiplicando a equação (3) por 2:
y = -5t
Subtraindo a equação (4) da equação (5):

Passo 5

Com x - (-5t) = 1 - 3t Rightarrow x + 5t = 1 - 3t , substituímos na equação (3) para encontrar x = 1 - 8t :

Passo 6

Agora temos todas as coordenadas em termos do parâmetro x = 1 - 8t :
y = -5t
z = t
Essas são as equações paramétricas da reta de interseção.

Resposta

A equação da reta de interseção dos planos x = 1 - 8t y = -5t z = t e é dada por:
onde é um parâmetro real.

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