Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços:
W=[lla & b c & d] in M(2,2): a, b, c, d in R e b=c+1

Passo 1

Então, a gente vai verificar se um determinado conjunto de matrizes é um subespaço. O conjunto que estamos olhando é:
W = a & b c & d in M(2,2) : a, b, c, d in R e b = c + 1
Aqui, representa o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. O que queremos é ver se esse conjunto é um subespaço desse espaço maior. Para isso, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto ser um subespaço, ele precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: Ou seja, a matriz zero está em .
  2. Fechado sob adição: Se pegarmos duas matrizes em e somarmos, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se pegarmos uma matriz em e multiplicarmos por um número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.

Passo 3

1. Verificar se a matriz zero está em 0 & 0 0 & 0 :
A matriz zero em é:
Agora, vamos ver se essa matriz satisfaz a condição :
Aqui, , . Então seria , ou seja, , o que não é verdadeiro.
Portanto, a matriz zero não está em .

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Mesmo que a primeira condição não seja satisfeita, vamos verificar essa também para entender melhor.
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em A = a1 & b1 c1 & d1 com b1 = c1 + 1 :
B = a2 & b2 c2 & d2 com b2 = c2 + 1
A + B = a1 + a2 & b1 + b2 c1 + c2 & d1 + d2
Somando b1 + b2 = (c1 + 1) + (c2 + 1) = c1 + c2 + 2 e (c1 + c2) + 1 = c1 + c2 + 1 :
c1 + c2 + 2 neq c1 + c2 + 1
Agora, precisamos verificar se :
Sabemos que e , então:
Por outro lado:
Comparando:
Então, , o que significa que não está em .

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos multiplicar uma matriz qualquer em A = a & b c & d com b = c + 1 por um escalar kA = ka & kb kc & kd :
kb = k(c + 1) = kc + k
Multiplicando por :
Agora, verificamos se :
Sabemos que , então:
Para que , precisaríamos que , ou seja, .
Isso significa que, a menos que , a condição não é satisfeita após a multiplicação por .
Portanto, não está em , a menos que .

Resposta

O conjunto não é um subespaço de , pois não contém a matriz zero e não é fechado sob adição e multiplicação por escalares.

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