Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços:
e

Passo 1

Então, a gente vai verificar se um determinado conjunto de matrizes é um subespaço. O conjunto que estamos olhando é:
Aqui, representa o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. O que queremos é ver se esse conjunto é um subespaço desse espaço maior. Para isso, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto ser um subespaço, ele precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: Ou seja, a matriz zero está em .
  2. Fechado sob adição: Se pegarmos duas matrizes em e somarmos, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se pegarmos uma matriz em e multiplicarmos por um número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.

Passo 3

1. Verificar se a matriz zero está em :
A matriz zero em é:
Agora, vamos ver se essa matriz satisfaz a condição :
Aqui, , . Então seria , ou seja, , o que não é verdadeiro.
Portanto, a matriz zero não está em .

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Mesmo que a primeira condição não seja satisfeita, vamos verificar essa também para entender melhor.
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em :
Somando e :
Agora, precisamos verificar se :
Sabemos que e , então:
Por outro lado:
Comparando:
Então, , o que significa que não está em .

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos multiplicar uma matriz qualquer em por um escalar :
Multiplicando por :
Agora, verificamos se :
Sabemos que , então:
Para que , precisaríamos que , ou seja, .
Isso significa que, a menos que , a condição não é satisfeita após a multiplicação por .
Portanto, não está em , a menos que .

Resposta

O conjunto não é um subespaço de , pois não contém a matriz zero e não é fechado sob adição e multiplicação por escalares.

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