Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços:
e
Passo 1
Então, a gente vai verificar se um determinado conjunto de matrizes é um subespaço. O conjunto que estamos olhando é:
Aqui,
representa o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. O que queremos é ver se esse conjunto
é um subespaço desse espaço maior. Para isso, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto ser um subespaço, ele precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: Ou seja, a matriz zero está em
. - Fechado sob adição: Se pegarmos duas matrizes em
e somarmos, o resultado também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se pegarmos uma matriz em
e multiplicarmos por um número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.
Passo 3
1. Verificar se a matriz zero está em
:
A matriz zero em
é:
Agora, vamos ver se essa matriz satisfaz a condição
:
Aqui,
,
. Então
seria
, ou seja,
, o que não é verdadeiro.
Portanto, a matriz zero não está em
.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Mesmo que a primeira condição não seja satisfeita, vamos verificar essa também para entender melhor.
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em
:
Somando
e
:
Agora, precisamos verificar se
:
Sabemos que
e
, então:
Por outro lado:
Comparando:
Então,
, o que significa que
não está em
.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos multiplicar uma matriz qualquer em
por um escalar
:
Multiplicando por
:
Agora, verificamos se
:
Sabemos que
, então:
Para que
, precisaríamos que
, ou seja,
.
Isso significa que, a menos que
, a condição
não é satisfeita após a multiplicação por
.
Portanto,
não está em
, a menos que
.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço de
, pois não contém a matriz zero e não é fechado sob adição e multiplicação por escalares.
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São dadas as coordenadas de
e
em relação a uma base ortonormal fixada. Calcule, em radianos, a medida angular entre
e
.
.
Determinar a dimensão e uma base do espaço vetorial
Considere os planos
.
Determine a equação da reta .
Determine a equação da reta
Sejam
e
bases ordenadas de
. Determine
e
. Quais são as coordenadas do vetor
em relação às bases
e
?