Veri que se cada uma das seguintes matrizes A é diagonalizável ou não. Quando for, determine uma matriz invertível e determine uma matiz diagonal tais que .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma matriz :
O objetivo aqui é verificar se essa matriz é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar uma matriz invertível e uma matriz diagonal tal que . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade.
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 3

Calculando :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Explicando: o determinante de uma matriz é dado por .

Passo 4

Vamos resolver a equação:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver para encontrar os autovalores.

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática , buscamos dois números que multiplicados dão 20 e somados dão 11. Esses números são 1 e 10.
Então, as soluções são:

Passo 6

Como encontramos dois autovalores distintos ( e ), isso significa que a matriz é diagonalizável. Agora, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Passo 7

Vamos encontrar o autovetor para . Substituímos na equação :
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, . Podemos escolher , então .
Portanto, um autovetor para é:

Passo 8

Agora, vamos encontrar o autovetor para . Substituímos na equação :
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, ou . Podemos escolher , então .
Portanto, um autovetor para é:

Passo 9

Agora que temos os autovalores e os autovetores, podemos montar as matrizes e .
A matriz é formada pelos autovetores como colunas:
A matriz é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal:

Resposta

A matriz é diagonalizável. As matrizes e que satisfazem são:

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