Veri que se cada uma das seguintes matrizes A é diagonalizável ou não. Quando for, determine uma matriz invertível
e determine uma matiz diagonal
tais que
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma matriz
:
O objetivo aqui é verificar se essa matriz é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar uma matriz invertível
e uma matriz diagonal
tal que
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de
. Os autovalores são valores de
que satisfazem a equação característica:
Onde
é a matriz identidade.
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Explicando: o determinante de uma matriz
é dado por
.
Passo 4
Vamos resolver a equação:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver para encontrar os autovalores.
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática
, buscamos dois números que multiplicados dão 20 e somados dão 11. Esses números são 1 e 10.
Então, as soluções são:
Passo 6
Como encontramos dois autovalores distintos (
e
), isso significa que a matriz
é diagonalizável. Agora, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Passo 7
Vamos encontrar o autovetor para
. Substituímos na equação
:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação,
. Podemos escolher
, então
.
Portanto, um autovetor para
é:
Passo 8
Agora, vamos encontrar o autovetor para
. Substituímos na equação
:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação,
ou
. Podemos escolher
, então
.
Portanto, um autovetor para
é:
Passo 9
Agora que temos os autovalores e os autovetores, podemos montar as matrizes
e
.
A matriz
é formada pelos autovetores como colunas:
A matriz
é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
Resposta
A matriz
é diagonalizável. As matrizes
e
que satisfazem
são:
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Calcule a projeção ortogonal de
sobre
em cada caso.
Considere os planos
.
Dê um exemplo de um plano perpendicular a e a .
Dê um exemplo de um plano perpendicular a e a
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e
.
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