Veri que se cada uma das seguintes matrizes A é diagonalizável ou não. Quando for, determine uma matriz invertível P e determine uma matiz diagonal D tais que A= P cdot D cdot P.
A=rr 3 & 2 2 & 8 )

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma matriz A = 3 & 2 2 & 8 :
O objetivo aqui é verificar se essa matriz é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar uma matriz invertível e uma matriz diagonal tal que . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade.
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 3

Calculando A - lambda I = 3 - lambda & 2 2 & 8 - lambda :
det(A - lambda I) = (3 - lambda)(8 - lambda) - (2 cdot 2) = 0
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Explicando: o determinante de uma matriz é dado por .

Passo 4

Vamos resolver a equação:
(3 - lambda)(8 - lambda) - 4 = 0 (3 cdot 8) - 3lambda - 8lambda + lambda^2 - 4 = 0 24 - 11lambda + lambda^2 - 4 = 0 lambda^2 - 11lambda + 20 = 0
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver para encontrar os autovalores.

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática lambda1 = 1 lambda2 = 10 , buscamos dois números que multiplicados dão 20 e somados dão 11. Esses números são 1 e 10.
Então, as soluções são:

Passo 6

Como encontramos dois autovalores distintos ( e ), isso significa que a matriz é diagonalizável. Agora, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Passo 7

Vamos encontrar o autovetor para A - I = 3 - 1 & 2 2 & 8 - 1 = 2 & 2 2 & 7 . Substituímos na equação 2x + 2y = 0 2x + 7y = 0 :
v1 = -1 1
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, . Podemos escolher , então .
Portanto, um autovetor para é:

Passo 8

Agora, vamos encontrar o autovetor para A - 10I = 3 - 10 & 2 2 & 8 - 10 = -7 & 2 2 & -2 . Substituímos na equação -7x + 2y = 0 2x - 2y = 0 :
v2 = 2 7
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, ou . Podemos escolher , então .
Portanto, um autovetor para é:

Passo 9

Agora que temos os autovalores e os autovetores, podemos montar as matrizes P = -1 & 2 1 & 7 e D = 1 & 0 0 & 10 .
A matriz é formada pelos autovetores como colunas:
A matriz é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal:

Resposta

A matriz P = -1 & 2 1 & 7 , D = 1 & 0 0 & 10 é diagonalizável. As matrizes e que satisfazem são:

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