(a) Encontre o menor raio externo permitido para uma curva na fibra, para que nenhuma luz possa escapar.
(b) Qual resultado será previsto pela parte (a) se se aproximar de zero? Esse comportamento é razoável?
© Avalie assumindo que o diâmetro da fibra é de e seu índice de refração é de 1,40.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Na parte (a), precisamos encontrar o menor raio externo para uma fibra óptica, de modo que nenhuma luz escape. Isso envolve conceitos de reflexão interna total e índices de refração. Para resolver isso, vamos precisar entender como a luz se comporta dentro da fibra e como o raio externo influencia na retenção da luz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a fibra óptica funciona com base na reflexão interna total. Isso acontece quando a luz atinge a interface entre dois materiais com diferentes índices de refração em um ângulo maior que o ângulo crítico. O ângulo crítico pode ser calculado usando a fórmula:
onde é o índice de refração do interior da fibra e é o índice de refração do exterior.

Passo 3

Para garantir que nenhuma luz escape da fibra, precisamos que o raio externo seja tal que o ângulo de incidência da luz seja sempre maior ou igual ao ângulo crítico. Isso significa que o raio externo mínimo está diretamente relacionado à geometria da fibra e ao ângulo crítico.

Passo 4

Vamos considerar que a fibra tem um diâmetro e um raio interno . O raio externo mínimo deve ser suficiente para que, mesmo no ponto mais próximo da superfície, a luz não escape. A relação geométrica pode ser estabelecida usando trigonometria básica, onde:

Passo 5

Substituindo o ângulo crítico na equação, temos:
Essa fórmula nos dá o menor raio externo necessário para que a fibra retenha toda a luz internamente.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). Se se aproxima de zero, o diâmetro da fibra está ficando muito pequeno. Analisando a fórmula de :
Isso significa que o raio mínimo também tende a zero. No entanto, isso não é bem realista fisicamente, pois em escalas muito pequenas, outros efeitos como a dispersão da luz e perdas podem se tornar significativos. Portanto, o comportamento previsto pela parte (a) não é totalmente razoável para próximo de zero.

Passo 7

Finalmente, na parte ©, vamos calcular com e índice de refração . Vamos supor que o índice de refração externo seja 1,00 (ar).
Primeiro, encontramos o ângulo crítico:
Agora, calculamos :

Resposta

O menor raio externo permitido para a fibra é aproximadamente .

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