(a) Encontre o menor raio externo
permitido para uma curva na fibra, para que nenhuma luz possa escapar.
(b) Qual resultado será previsto pela parte (a) se
se aproximar de zero? Esse comportamento é razoável?
© Avalie
assumindo que o diâmetro da fibra é de
e seu índice de refração é de 1,40.
(b) Qual resultado será previsto pela parte (a) se
© Avalie
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Na parte (a), precisamos encontrar o menor raio externo
para uma fibra óptica, de modo que nenhuma luz escape. Isso envolve conceitos de reflexão interna total e índices de refração. Para resolver isso, vamos precisar entender como a luz se comporta dentro da fibra e como o raio externo influencia na retenção da luz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a fibra óptica funciona com base na reflexão interna total. Isso acontece quando a luz atinge a interface entre dois materiais com diferentes índices de refração em um ângulo maior que o ângulo crítico. O ângulo crítico
pode ser calculado usando a fórmula:
onde
é o índice de refração do interior da fibra e
é o índice de refração do exterior.
Passo 3
Para garantir que nenhuma luz escape da fibra, precisamos que o raio externo seja tal que o ângulo de incidência da luz seja sempre maior ou igual ao ângulo crítico. Isso significa que o raio externo mínimo
está diretamente relacionado à geometria da fibra e ao ângulo crítico.
Passo 4
Vamos considerar que a fibra tem um diâmetro
e um raio interno
. O raio externo mínimo
deve ser suficiente para que, mesmo no ponto mais próximo da superfície, a luz não escape. A relação geométrica pode ser estabelecida usando trigonometria básica, onde:
Passo 5
Substituindo o ângulo crítico na equação, temos:
Essa fórmula nos dá o menor raio externo necessário para que a fibra retenha toda a luz internamente.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). Se
se aproxima de zero, o diâmetro da fibra está ficando muito pequeno. Analisando a fórmula de
:
Isso significa que o raio mínimo também tende a zero. No entanto, isso não é bem realista fisicamente, pois em escalas muito pequenas, outros efeitos como a dispersão da luz e perdas podem se tornar significativos. Portanto, o comportamento previsto pela parte (a) não é totalmente razoável para
próximo de zero.
Passo 7
Finalmente, na parte ©, vamos calcular
com
e índice de refração
. Vamos supor que o índice de refração externo
seja 1,00 (ar).
Primeiro, encontramos o ângulo crítico:
Agora, calculamos
:
Resposta
O menor raio externo permitido para a fibra é aproximadamente
.
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