Considere o polinômio de
grau
, onde
e
são números reais dados.
Verifique que
Verifique que
Passo 1
Neste exercício, queremos verificar uma identidade envolvendo um polinômio de segundo grau
. Vamos utilizar o método de completar o quadrado, que é uma técnica matemática para reescrever expressões quadráticas de uma forma mais conveniente.
Passo 2
Começamos com o polinômio dado:
Nosso objetivo é reescrever essa expressão de uma forma que facilite a análise, especialmente para resolver equações ou encontrar o vértice da parábola representada pelo polinômio.
Passo 3
Primeiro, vamos fatorar o coeficiente
dos termos que contêm
:
Isso simplifica a expressão dentro dos parênteses, facilitando o próximo passo.
Passo 4
Agora, vamos completar o quadrado dentro dos parênteses. Para isso, tomamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Em seguida, adicionamos e subtraímos esse valor dentro dos parênteses para manter a igualdade:
Passo 5
Reescrevemos a expressão de forma a formar um quadrado perfeito:
Isso nos permite identificar a parte quadrática completa e a constante que sobra.
Passo 6
Distribuímos o coeficiente
e simplificamos os termos constantes:
Passo 7
Reconhecemos que o discriminante
é dado por:
Assim, podemos reescrever a constante restante:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão, obtemos:
Isso confirma a identidade que queríamos verificar.
Resposta
A igualdade está verificada, ou seja,
onde
.
Exercícios relacionados
Utilizando o exercício 7, fatore o polinômio do
grau.
Considere o polinômio de
grau
e sejam
e
como no item © do exercício 6.
Prove que
Prove que
Suponha
reais quaisquer, prove:
Resolva as inequações: