Considere o polinômio de grau , onde e são números reais dados.
Verifique que

Passo 1

Neste exercício, queremos verificar uma identidade envolvendo um polinômio de segundo grau . Vamos utilizar o método de completar o quadrado, que é uma técnica matemática para reescrever expressões quadráticas de uma forma mais conveniente.

Passo 2

Começamos com o polinômio dado:
Nosso objetivo é reescrever essa expressão de uma forma que facilite a análise, especialmente para resolver equações ou encontrar o vértice da parábola representada pelo polinômio.

Passo 3

Primeiro, vamos fatorar o coeficiente dos termos que contêm :
Isso simplifica a expressão dentro dos parênteses, facilitando o próximo passo.

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado dentro dos parênteses. Para isso, tomamos o coeficiente de , que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Em seguida, adicionamos e subtraímos esse valor dentro dos parênteses para manter a igualdade:

Passo 5

Reescrevemos a expressão de forma a formar um quadrado perfeito:
Isso nos permite identificar a parte quadrática completa e a constante que sobra.

Passo 6

Distribuímos o coeficiente e simplificamos os termos constantes:

Passo 7

Reconhecemos que o discriminante é dado por:
Assim, podemos reescrever a constante restante:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão, obtemos:
Isso confirma a identidade que queríamos verificar.

Resposta

A igualdade está verificada, ou seja,
onde .

Exercícios relacionados

Utilizando o exercício 7, fatore o polinômio do grau.
Considere o polinômio de grau e sejam e como no item © do exercício 6.
Prove que
Suponha reais quaisquer, prove:
Resolva as inequações: