Considere o polinômio de grau e sejam e como no item © do exercício 6.
Prove que

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos um polinômio de segundo grau da forma . Queremos provar que esse polinômio pode ser escrito como , onde e são as raízes do polinômio. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de polinômios e fatores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as raízes de um polinômio são os valores de que fazem o polinômio igual a zero. Ou seja, se e são raízes de , então:

Passo 3

Agora, vamos usar a ideia de que um polinômio pode ser fatorado a partir de suas raízes. Se e são raízes, então os fatores correspondentes são e . Por isso, podemos escrever o polinômio como:
Aqui, o coeficiente é mantido para garantir que o polinômio resultante tenha o mesmo coeficiente principal que o polinômio original.

Passo 4

Vamos expandir a expressão para verificar se ela realmente corresponde a :
Distribuindo o :

Passo 5

Agora, vamos comparar essa expressão expandida com o polinômio original . Para que elas sejam iguais, devemos ter:
Essas são as relações que conectam os coeficientes do polinômio às suas raízes.

Resposta

Assim, mostramos que , provando que o polinômio de segundo grau pode ser fatorado em termos de suas raízes e .

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