Considere o polinômio de
grau
e sejam
e
como no item © do exercício 6.
Prove que
Prove que
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos um polinômio de segundo grau da forma
. Queremos provar que esse polinômio pode ser escrito como
, onde
e
são as raízes do polinômio. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de polinômios e fatores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as raízes de um polinômio são os valores de
que fazem o polinômio igual a zero. Ou seja, se
e
são raízes de
, então:
Passo 3
Agora, vamos usar a ideia de que um polinômio pode ser fatorado a partir de suas raízes. Se
e
são raízes, então os fatores correspondentes são
e
. Por isso, podemos escrever o polinômio como:
Aqui, o coeficiente
é mantido para garantir que o polinômio resultante tenha o mesmo coeficiente principal que o polinômio original.
Passo 4
Vamos expandir a expressão
para verificar se ela realmente corresponde a
:
Distribuindo o
:
Passo 5
Agora, vamos comparar essa expressão expandida com o polinômio original
. Para que elas sejam iguais, devemos ter:
Essas são as relações que conectam os coeficientes do polinômio às suas raízes.
Resposta
Assim, mostramos que
, provando que o polinômio de segundo grau pode ser fatorado em termos de suas raízes
e
.
Exercícios relacionados
Considere o polinômio de
grau
, onde
e
são números reais dados.
Conclua de (a) que, se , as raízes de
são dadas pela fórmula
Conclua de (a) que, se
Resolva as inequações em
Utilizando o exercício 7, fatore o polinômio do
grau.
Considere o polinômio de
grau
, onde
e
são números reais dados.
Verifique que
Verifique que