Suponha
reais quaisquer, prove:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos provar que, para qualquer número real
, a afirmação
é equivalente a
. Isso está dentro do conteúdo de funções e propriedades dos números reais, especialmente lidando com inversos multiplicativos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa o inverso de um número e como as desigualdades funcionam quando manipulamos esses números.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o inverso de um número. O inverso multiplicativo de
é
, que é igual a
. Isso significa que
. É importante lembrar que
não pode ser zero, porque divisão por zero não está definida.
Passo 3
Agora, vamos analisar a primeira parte da equivalência: se
, então
. Se
é positivo, dizer
também será positivo, já que a divisão de um número positivo por outro número positivo resulta em um número positivo.
Passo 4
Em seguida, vamos para a segunda parte: se
, então
. Se o inverso
é positivo, isso implica que
. Para que uma fração como
seja positiva, tanto o numerador quanto o denominador devem ter o mesmo sinal. Como o numerador é 1 (positivo), o denominador
também deve ser positivo.
Passo 5
Assim, mostramos que:
- Se
, então . - Se
, então .
Isso confirma que as duas afirmações são equivalentes.
Resposta
Portanto, provamos que
.
Exercícios relacionados
Considere o polinômio de
grau
, onde
e
são números reais dados.
Verifique que
Verifique que
Utilizando o exercício 7, fatore o polinômio do
grau.
Resolva as inequações:
Suponha
. Prove: