Suponha reais quaisquer, prove:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos provar que, para qualquer número real , a afirmação é equivalente a . Isso está dentro do conteúdo de funções e propriedades dos números reais, especialmente lidando com inversos multiplicativos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa o inverso de um número e como as desigualdades funcionam quando manipulamos esses números.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o inverso de um número. O inverso multiplicativo de é , que é igual a . Isso significa que . É importante lembrar que não pode ser zero, porque divisão por zero não está definida.

Passo 3

Agora, vamos analisar a primeira parte da equivalência: se , então . Se é positivo, dizer também será positivo, já que a divisão de um número positivo por outro número positivo resulta em um número positivo.

Passo 4

Em seguida, vamos para a segunda parte: se , então . Se o inverso é positivo, isso implica que . Para que uma fração como seja positiva, tanto o numerador quanto o denominador devem ter o mesmo sinal. Como o numerador é 1 (positivo), o denominador também deve ser positivo.

Passo 5

Assim, mostramos que:
  • Se , então .
  • Se , então .
Isso confirma que as duas afirmações são equivalentes.

Resposta

Portanto, provamos que .

Exercícios relacionados

Considere o polinômio de grau , onde e são números reais dados.
Verifique que
Utilizando o exercício 7, fatore o polinômio do grau.
Resolva as inequações:
Suponha . Prove: