Considere o polinômio
e determine os coeficientes
do polinômio:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um polinômio
e precisa encontrar os coeficientes
do polinômio resultante da expressão
. Isso envolve trabalhar com séries de potências e derivadas de séries. Vamos precisar lembrar como derivar séries termo a termo e como manipular as somas para encontrar os coeficientes desejados.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada primeira
da série
. Lembrando que, para derivar uma série de potências, derivamos termo a termo:
Para facilitar a manipulação dos índices, podemos ajustar a soma começando de
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada segunda
. Derivando
termo a termo:
Mais uma vez, ajustando o índice para simplificar:
Passo 4
Agora, vamos lidar com o termo
. Multiplicando
por
:
Aqui, aumentamos o expoente de
em 1.
Passo 5
Agora, temos o último termo da expressão, que é
:
Passo 6
Agora, vamos juntar todos os termos calculados para formar a série
:
Substituindo as séries que calculamos:
Passo 7
Vamos ajustar os índices das somas para que todas estejam em termos de
. Para o primeiro termo, fazemos a substituição
, então
:
Agora, todas as somas estão em termos de
:
Passo 8
Agora, podemos igualar os coeficientes de
em ambos os lados da igualdade para encontrar
:
Simplificando os termos com
:
Resposta
Os coeficientes
são dados por: