Considere o polinômio y(x)=sumn=0^infty cn x^n e determine os coeficientes dn do polinômio:
sumn=0^infty dn x^n=y^prime prime(x)-2 x y^prime(x)+12 y(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um polinômio e precisa encontrar os coeficientes do polinômio resultante da expressão . Isso envolve trabalhar com séries de potências e derivadas de séries. Vamos precisar lembrar como derivar séries termo a termo e como manipular as somas para encontrar os coeficientes desejados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada primeira y'(x) = sumn=0^infty cn cdot n cdot x^n-1 da série y'(x) = sumn=1^infty cn cdot n cdot x^n-1 . Lembrando que, para derivar uma série de potências, derivamos termo a termo:
Para facilitar a manipulação dos índices, podemos ajustar a soma começando de :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada segunda y''(x) = sumn=1^infty cn cdot n cdot (n-1) cdot x^n-2 . Derivando y''(x) = sumn=2^infty cn cdot n cdot (n-1) cdot x^n-2 termo a termo:
Mais uma vez, ajustando o índice para simplificar:

Passo 4

Agora, vamos lidar com o termo -2x y'(x) = -2x cdot sumn=1^infty cn cdot n cdot x^n-1 = -2 sumn=1^infty cn cdot n cdot x^n . Multiplicando por :
Aqui, aumentamos o expoente de em 1.

Passo 5

Agora, temos o último termo da expressão, que é 12 y(x) = 12 cdot sumn=0^infty cn x^n = sumn=0^infty 12 cn x^n :

Passo 6

Agora, vamos juntar todos os termos calculados para formar a série sumn=0^infty dn x^n = y''(x) - 2x y'(x) + 12 y(x) :
sumn=0^infty dn x^n = sumn=2^infty cn cdot n cdot (n-1) cdot x^n-2 - 2 sumn=1^infty cn cdot n cdot x^n + sumn=0^infty 12 cn x^n
Substituindo as séries que calculamos:

Passo 7

Vamos ajustar os índices das somas para que todas estejam em termos de sumn=2^infty cn cdot n cdot (n-1) cdot x^n-2 = sumk=0^infty ck+2 cdot (k+2) cdot (k+1) cdot x^k . Para o primeiro termo, fazemos a substituição sumn=0^infty dn x^n = sumn=0^infty cn+2 (n+2)(n+1) x^n - 2 sumn=1^infty cn n x^n + sumn=0^infty 12 cn x^n , então :
Agora, todas as somas estão em termos de :

Passo 8

Agora, podemos igualar os coeficientes de dn = cn+2 (n+2)(n+1) - 2 cn n + 12 cn em ambos os lados da igualdade para encontrar dn = cn+2 (n+2)(n+1) - (2n - 12) cn :
Simplificando os termos com :

Resposta

Os coeficientes dn = (n + 2)(n + 1) cn + 2 - (2n - 12) cn são dados por:

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