Encontre o limite.
(a) lim x 0 e^x-1x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites e a função exponencial . Para resolver isso, vamos precisar entender como a função exponencial se comporta próximo de zero e, se necessário, usar a Regra de L’Hôpital para simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a expansão em série de Taylor para e^x = 1 + x + x^22! + x^33! + cdots em torno de 0 é:
e^x - 1 = x + x^22 + x^36 + cdots
Subtraindo 1 de ambos os lados, temos:

Passo 3

Agora, vamos dividir essa expressão por e^x - 1x^3 = x + x^22 + x^36 + cdotsx^3 = 1x^2 + 12x + 16 + cdots :
À medida que se aproxima de 0, os termos e dominam e crescem sem limite.

Passo 4

Como esses termos crescem sem limite quando se aproxima de 0, o limite da expressão toda é infinito positivo.

Resposta

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