Resolva os problemas de valores iniciais (PVIs):
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo
e as condições iniciais
e
. Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral da equação e depois usar as condições iniciais para encontrar as constantes específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial. Para isso, formamos a equação característica associada, que é uma equação polinomial obtida substituindo
na equação diferencial. Assim, teremos:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
. Para encontrar as raízes, usamos a fórmula de Bhaskara:
onde
,
, e
. Calculando:
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas (
e
), a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções correspondentes às raízes. Ou seja:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos usar a condição inicial
. Substituindo
na solução geral:
Então, temos a primeira equação:
Passo 6
Agora, vamos usar a segunda condição inicial
. Primeiro, precisamos encontrar a derivada da solução geral:
Substituindo
:
Agora, temos a segunda equação:
Passo 7
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
converge. Calcule a integral para esse valor de
.
Encontre a solução geral:
(d)
(d)
Encontre a solução geral pelo método da variação dos parâmetros (MVP):
(b)
(b)
Considere o polinômio
e determine os coeficientes
do polinômio: