Resolva os problemas de valores iniciais (PVIs):
(a) y'' + 2y'(t) - 3y(t) = 0, y(0) = 1, y'(0) = 9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo e as condições iniciais e . Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral da equação e depois usar as condições iniciais para encontrar as constantes específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial. Para isso, formamos a equação característica associada, que é uma equação polinomial obtida substituindo na equação diferencial. Assim, teremos:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica . Para encontrar as raízes, usamos a fórmula de Bhaskara:
onde , , e . Calculando:
Então, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes encontradas ( e ), a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções correspondentes às raízes. Ou seja:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos usar a condição inicial . Substituindo na solução geral:
Então, temos a primeira equação:

Passo 6

Agora, vamos usar a segunda condição inicial . Primeiro, precisamos encontrar a derivada da solução geral:
Substituindo :
Agora, temos a segunda equação:

Passo 7

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

integral0^infty(1raizx^2+4-Cx+2) d x
converge. Calcule a integral para esse valor de C.
Encontre a solução geral:
(d) y''(t) + 4y'(t) + 13y(t) = 0
Encontre a solução geral pelo método da variação dos parâmetros (MVP):
(b) y''(t) - y(t) = e^(2 t)
Considere o polinômio y(x)=sumn=0^infty cn x^n e determine os coeficientes dn do polinômio:
sumn=0^infty dn x^n=y^prime prime(x)-2 x y^prime(x)+12 y(x)